案例的同態/Paillier 加密系統？：多個計數器指數可能溢出？一直需要不同的密碼因子？
最近我讀到了同態密碼系統。他們可能會解決一個問題。為此，需要對標準版本進行一些修改。
在這裡使用Paillier，但其他的解決方案也很好。
例如給定兩個密文 $ c_1,c_2 $ 帶發電機 $ g $ 和因素 $ r_i $ :
$ c_i = g^{m_i} r_i^n \mod n^2 $
$ n=p\cdot q $ ， 和 $ p,q $ 素數
現在，如果它們成倍增加
$ c_1 \cdot c_2 \equiv g^{m_1} r_1^n \cdot g^{m_2} r_2^n = g^{m_1+m_2} (r_1r_2)^n \equiv g^{m_1+m_2} r^n \mod n $
因素 $ m_1, m_2 $ 被添加。如果他們得到 $ n $ 或更大，他們重新開始。在正常使用情況下，通過選擇較大的禁止 $ n $ .
現在我正在尋找一種方法來獲得這種溢出的特殊類型 $ m $ . 想像一場有 3 名候選人的選舉，他們的選票以一個指數計算。
例如，候選人 1 有 5 票，2 有 6 票，第 3 位有 42 票，指數為 $ g $ 可能 $ {005006042} $ . 在另一個地區是 $ {133700123} $ . 如果密碼相乘，則將這些指數相加並彙總每個候選人的所有選票。這種指數形式只允許最多 $ 999 $ 每個候選人的總票數（假設總指數為 $ <n $ ).
在我的案例中，總會有一些指數溢出，不管有多大 $ n $ 是。但相反，每個候選人的整個指數應該是一個。
例如 $ 700.800.900 $ 和 $ 400.100.200 $ 應該加起來 $ 100.900.100 $ 代替 $ 1100.901.100 $ .
有沒有辦法在指數中有多個溢出？還是多個計數器的替代方法？
元素也會被減去，因此也需要存在下溢。
據我了解，每個密碼都可以（應該？）有自己的 $ r $ . 對於我的案例，它需要以某種方式關聯。它需要是與順序和方向無關的相同密碼。例如，將 5 票添加到密碼應該會產生相同的密文，就像將 5 次投票添加到相同的密碼一樣。如果只有一個，那應該可以 $ r $ （對於每個候選人）（+ $ r^{-1} $ 減法）。但是單 $ r $ 不利於安全，還是？
你知道實現這一目標的另一種方法嗎？檢查兩個不同的方法 $ c_1\not= c_2 $ 具有相同的指數而不加密它也可以工作。
無論如何它都行不通，因為即使它對一個人來說是安全的 $ r $ 並且每個候選者的指數可能會溢出，並且具有相同指數的密文在發生溢出後會有所不同。
你真的是說確定性的嗎（也就是說，一個特定的 m 總是映射到同一個 c）
給定兩個具有相同指數的密文 ( $ \mod n $ ) 溢出前後。第二個將是添加後的結果 $ n $ 次一票對第一。
$ c_0 = g^0 \cdot r^n \mod n^2 $
$ c_{i+1} = c_i \cdot c_{add+1} = c_i \cdot g^1 \cdot r^n = g^i \cdot r^{in+n} $
$ c_a=g^a \cdot r^{an+n} \not=g^{a+n} \cdot r^{an+n^2+n}=c_{a+n} $ $ \mod n^2 $
（因為 $ r^{\phi(n^2)}=1 $ 和 $ n^2 \not = \phi(n^2) $ )
解密解析相同 $ a $ 但指數 $ r $ 是不同的，這兩個密文。