重合指數的期望值
誰能告訴我為什麼巧合指數的期望值如下？
對於長度為的密文字元串 $ L $ ， 在哪裡 $ n $ 是字母字元的數量， $ k_r = 1/n $ ， 和 $ k_p = \sum_{i=1}^n p_i^2 $
$$ E(IC) = \frac{1}{t}*\frac{L - t}{L - 1}k_p + \frac{t - 1}{t}\frac{L}{L - 1}*k_r $$
我忘了說 $ t $ 是用於加密消息的多字母密碼的周期。
預期巧合指數通常是指一種語言的預期巧合指數（英語為 1.73，如果不進行規範化，則為 0.067）。
有問題的公式通常用於確定密鑰的長度（ $ t $ ）給定（測量） $ IC $ 收到的密文。 $ IC $ 是從密文中隨機選擇的兩個字母相同的機率。
讓 $ X={ x_1,x_2,x_3,…x_L} $ 成為密文。如果我們認為多字母密碼有周期 $ t $ ，那麼我們會期望以下各項：
$$ \begin{eqnarray} & X_1 ={x_1, x_{t+1},x_{2t+1},…}\ & X_2 ={x_2, x_{t+2},x_{2t+2},…}\ & \vdots \ &X_t ={x_t, x_{2t},x_{3t},…} \end{eqnarray} $$ 顯示與明文相同的索引 ( $ \kappa_p $ ）。所以我們可以重構 $ IC(X) $ 如下。隨機選擇兩個字母，我們想要它們匹配的機率。
它們處於同一位置的機率 $ X_i $ 是：
$$ \frac{tC(\frac{L}{t},2)}{C(L,2)} = \frac{L*(\frac{L}{t}-1)}{L(L-1)} $$ 他們不同的機率 $ X_i $ s 是：
$$ \frac{C(t,2)\frac{L}{t}\frac{L}{t}}{C(L,2)} = \frac{t(t-1)\frac{L}{t}\frac{L}{t}}{L(L-1)} $$
- 如果他們在同一個 $ X_i $ 然後它們都使用相同的字母進行加密：所以機率是 $ \kappa_p $
- 如果他們在不同的 $ X_i $ s 然後它們使用不同的字母進行加密，所以我們可以假設它們是隨機分佈的：所以機率是 $ \kappa_r $
所以兩個隨機字母匹配的機率大約是
$$ \begin{eqnarray} IC(X) & \approx \frac{L*(\frac{L}{t}-1)}{L(L-1)}\kappa_p + \frac{t(t-1)\frac{L}{t}\frac{L}{t}}{L(L-1)}\kappa_r\ & = \frac{(L-t)}{t(L-1)}\kappa_p + \frac{(t-1)*L}{t(L-1)}\kappa_r \end{eqnarray} $$