歐幾里得範數不需要滿秩格
在 Miccincio 的 Lattice 講座中有一句話說，當我們使用凸體定理對歐幾里得範數以外的範數限制格子的最小距離時，我們需要假設它們是滿秩格子。不需要全維條件的原因是在歐幾里得規範中，可以將任何晶格嵌入 $ \mathbb{R}^d $ 等級 $ n $ 進入 $ \mathbb{R}^n $ 使用正交投影。我的問題是：這種正交投影在其他規範中是不可能的嗎？
正交變換與 $ \ell_2 $ 內積。實際上，可以將正交矩陣組定義為矩陣 $ A $ 這樣： $$ \langle A\vec a, A\vec b\rangle = \langle \vec a, \vec b\rangle $$ 請注意，這相當於“標準”定義 $ A^t A = I $ .
無論如何，眾所周知 $ \ell_p $ 空間， $ \ell_2 $ 是范數來自內積的唯一範數空間，所以雖然可以使用正交（關於 $ \ell_2 $ 內積）在您想要的任何規範中的轉換（因為它們只是矩陣），沒有理由認為它們的“好”屬性，例如 $$ \lVert x\rVert_2^2 = \lVert \pi_F(x)\rVert_2^2 + \lVert\pi_{F^\perp}(x)\rVert_2^2, $$ （在哪裡 $ \pi_F $ 是子空間上的正交投影 $ F $ ) 將延續到其他規範。
這個不錯的屬性對我來說似乎是證明 Miccincio 所指內容的關鍵。即對於一個格子 $ \Lambda\subseteq \mathbb{R}^n $ ， 如果 $ E = \mathsf{span}_{\mathbb{R}}(\Lambda) $ , 那麼在工作時 $ \ell_2 $ 規範一可以改為檢查 $ \Lambda = \pi_E(\Lambda)\subseteq \pi_E(\mathbb{R}^n)\cong \mathbb{R}^{\mathsf{rk}(\Lambda)} $ 反而。請注意，這個方程作為集合的包含總是有效的，但我們在這裡還關心度量細節。
我從幾何上認為具體出了什麼問題如下，但沒有檢查細節。沃羅諾伊細胞 $ V $ 非滿秩格的不應該是緊集（如果 $ E = \mathsf{span}{\mathbb{R}}(\Lambda) $ , 單元格不應該在集合上 $ E^\perp $ ）。為了 $ \ell_2 $ 規範，voronoi 細胞在 $ E^\perp $ 雖然—直覺上應該是這樣的 $ V \times E^\perp $ , 至於任意 $ x $ 在太空中可以寫 $ \lVert x\rVert_2^2 = \lVert \pi_E(x)\rVert_2^2 + \lVert \pi{E^\perp}(x)\rVert_2^2 $ , 和最近的格點到 $ x $ 完全由第一個術語控制。由於該等式不適用於更一般的規範，因此 Voronoi 單元沒有理由表現出這種簡單的行為，因此在一般情況下限制為滿秩。