Lattice-Crypto
格中的高斯函式
高斯分佈的機率密度函式為
$$ 1/{\sqrt{2 \pi} \sigma} \times {e^{{(x-c)^2/ 2{\sigma}^2 }}} $$ 在格子中我們假設$$ \sigma =s/\sqrt{2 \pi} $$所以高斯函式變為 For$$ X \in R^n $$ $$ \rho_s(X)=1/s^n \times e^{-{\pi}||(x-c||)^2/s^2} $$但它被給出為 $$ \rho_s(X)= e^{-{\pi}||(x-c||)^2/s^2} $$你能解釋一下為什麼會有這種差異嗎？
格上的高斯函式，如果你定義它有或沒有比例因子 $ 1/s^n $ , 不是機率分佈，因為它的總和不等於 1。為了建構機率分佈，採樣點與高斯函式成比例，無論如何都必須通過除以所有格點上的高斯之和來重新縮放 (儘管這是一個無限的和，但它的定義很明確，可以計算出明確的界限）。因此，無論如何，您應用於高斯函式的任何縮放因子都將被此正規化所抵消，因此您不妨在沒有它的情況下定義高斯。
$ \rho_s(X) $ 對於有維數的格子 $ n $ 是 $ (1/s)^ne^{-\pi||X||^2/s^2} $
正如我們所知，它是球面對稱的。所以機率 $ X $ 只取決於它的長度。我們可以考慮 $ s=1 $ 在這種情況下。