如何在基於格的加密上獲得高斯分佈的界限（上限或下限）>
在基於格的加密中，我們總是需要從高斯分佈中採樣“雜訊”，但是如何測量雜訊的界限呢？例如，如果高斯分佈是 D_{u,\sigma}，其中 u 是意義值，\sigam 是標準差，我們採樣 e \gets D_{u,\sigma}，那麼如何得到邊界e，即|e|？類似地，如果 \sf{e} 是一個 n 維向量，那麼 \sf{e} 的邊界是什麼，即 |\sf{e}|？我很困惑如何在這裡使用意義值 u ？
重點 $ u $ 這意味著不是從晶格中採樣一個點 $ \Lambda $ ，您正在從晶格的陪集中採樣一個點 $ u + \Lambda $ . 這是晶格的“移位副本”（精確移位 $ u $ ).
不過，一般來說，您正在尋找晶格上高斯質量的尾部邊界。您可以在文獻中找到這些不同的地方。它們起源於 Banaszczyk在數字幾何中的一些轉移定理中的新界限，其中引理 1.5(i) 指出：
對於任何 $ n $ 維晶格 $ \Lambda $ 和 $ s > 0 $ , 一個點從 $ D_{\Lambda, s} $ 最多有歐幾里得範數 $ s\sqrt{n} $ 除了最多機率 $ 2^{-2n} $ .
這個引理的引用/陳述來自另一篇論文（所以可能不准確），因為我沒有機構訪問權限來下載 Banaszczyk 的作品。如果您想查看推導，可以查看此界限的概括，例如eprint 上的this 。這包括您想要的陪集範圍，它表示為： $$ \sum_{\substack{\lambda\in\Lambda\|\lambda + u|_2\geq r}}\exp(-\pi |\lambda + u|2^2) \leq (2\pi en^{-1}r^2)^{n/2}\sum{\lambda\in\Lambda}\exp(-\pi|\lambda|_2^2) $$ 左側是陪集尾部的高斯質量，其上限為晶格上的高斯質量。這還沒有直接變成尾界（例如，它根本不包括標準偏差），但我認為將上述不等式轉換為尾界將是一個非常合理的練習。