隨機格子
我在這個問題中問的內容在GPV08的下圖中。我不明白這句話
計算綜合症 $ \bf{Ae} \mod q $ 對於一些 $ \bf{e} \in \mathbb{Z}^{m} $ 相當於減少e模格 $ \wedge^{\bot} (\bf{A}) $ .
是說它們是雙射的，還是它們的價值相等（e + $ \wedge^{\bot} $ ( A )= Ae mod q)？我認為它們的價值不相等。這樣對嗎？
$$ GPV08 $$Craig Gentry、Chris Peikert、Vinod Vaikuntanathan，如何使用短基：硬格的活板門和新的密碼結構，2008 年 8 月 25 日。
兩種表達方式 $ e+\Lambda^\perp $ 和 $ Ae\mod q $ 因為它們是完全不同的對象，所以在價值上不可能真正相等：一個是一組 $ m $ 維整數向量，另一個是單維的 $ n $ 維向量。
相反，這意味著您可以從 $ \Lambda^\perp $ 對症候群 $ A $ 這將是雙射的。要定義此映射的操作方式，假設我們有一個陪集 $ e+\Lambda^\perp $ . 選擇任何元素 $ v $ 這個集合，並將陪集映射到 $ Av\mod q $ .
我們可以通過注意到 $ e+\Lambda^\perp $ 可以寫成 $ e+v $ 對於一些 $ v\in \Lambda^\perp $ . 的定義 $ \Lambda^\perp $ 說 $ Av\equiv 0\mod q $ 對所有人 $ v\in \Lambda^\perp $ ，所以我們有 $ A(e+v)\equiv Ae\mod q $ . 因此，無論我們選擇哪個陪集代表，該映射的值都是相同的。
這實際上只是變相的第一個同構定理： $ A $ 是作為一個線性變換 $ \mathbb{Z}^m $ ; 它的圖像是一組綜合症（ $ \mathbb{Z}_q^n $ ) 並且它的核心是 $ \Lambda^\perp $ . 所以 $ \mathbb{Z}^m/\Lambda^\perp \cong \mathbb{Z}_q^n $ .