Ring-LWE 橢圓高斯分佈
我目前正在嘗試理解這篇 Ring-LWE 文章：http ://www.cims.nyu.edu/~regev/papers/ideal-lwe.pdf我有一個問題。
首先，論文中提到我們可以查看橢圓高斯分佈 $ D_{\textbf{r}} $ （最初定義在 $ H $ ) 作為分佈 $ K_{\mathbb{R}} =K \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{R} $ . 即使那裡沒有提到任何明確的同構，我相信 $ \varphi:K \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{R} \to H $ , $ \varphi(x \otimes a) = a\sigma(x) $ 在這種情況下是有意義的。
我不明白的是分佈 $ x \cdot D_{\textbf{r}} $ 等於 $ D_{\textbf{t}} $ ， 在哪裡 $ t_i =r_i \cdot |\sigma_i(x)| $ ， 在哪裡 $ x \in K $ . 我得到的是以下內容：如果 $ x\in K $ 和 $ y\in H $ , $ y=\sum_{i=1}^n y_i h_i $ （分散式 $ y \sim D_{\textbf{r}} $ ）， 然後
（編輯公式）
$$ xy= \sum_{i \in [s_1]} y_i \sigma_i(x)h_i + \sum_{i \in [s_2]}(y_{s_1+i}\cdot Re\sigma_{s_1+i}(x) - y_{s_1+s_2+i}\cdot Im \sigma_{s_1+1}(x)) h_{s_1+i}) +\sum_{i \in [s_2]}(y_{s_1+s_2+i} \cdot Re \sigma_{s_1+i}(x) + y_{s_1+i} \cdot Im \sigma_{s_1+i}(x))h_{s_1+s_2+i} $$ 基本上我得到了 $ xy $ 在基地 $ {h_1,h_2,\ldots,h_n} $ ，並且它們似乎不遵循帶參數的高斯分佈 $ t_i = r_i \cdot |\sigma_i(x)| $ （除了第一個 $ s_1 $ 其中） 有人可以對此有所了解嗎？
（我是您所詢問的論文的作者之一。同構 $ \varphi $ 你寫的是預期的。）
關鍵的觀察是高斯 $ D_r $ 參數的 $ r $ 超過 $ \mathbb{C} $ 是“球形的”，即它是獨立高斯的總和（兩個參數 $ r $ ) 對於實部和虛部，因此在復平面旋轉下是不變的。所以， $ x \cdot D_r $ 等於 $ D_{|x| \cdot r} $ 對於任何 $ x \in \mathbb{C} $ .
然後，該主張隨之而來的事實是，乘法 $ K $ 對應於實數/複數分量中的座標乘法 $ \sigma $ . 也就是說，分佈 $ x \cdot D_{(r_1,\ldots,r_n)} $ 為了 $ x \in K $ 只是 $ D_{(|\sigma_1(x)| \cdot r_1, \ldots, |\sigma_n(x)| \cdot r_n)} $ . （請注意，根據需要保留了複雜嵌入對的共軛對稱性。）