體積qnqnq^nMR09 中的對偶 q-ary 晶格
給定一個矩陣 $ \mathbf{A} \in \mathbb{Z}^{n \times m} $ , $ m $ 足夠大 $ n $ 和素數 $ q $ . 的行 $ \mathbf{A} $ 是線性獨立的，機率很高。在MR09中，作者指出向量的數量 $ \mathbb{Z}_q^m $ 屬於 $ q $ 點陣 $ \Lambda_q^\intercal(\mathbf{A}) $ 是 $ q^{m-n} $ 因此可以得出這樣的結論 $ \text{det}(\Lambda_q^\intercal(\mathbf{A})) = q^n $ .
我知道核心的維度 $ \mathbf{A} $ （相當於對偶格子的維數）是 $ m-n $ . 但是，我不明白音量是如何緊隨其後的，並感謝您的解釋。
請注意，對於晶格 $ L\subseteq\mathbb{R}^n $ , $ \det(L) $ 是基本域的體積。通常有許多這樣的對象，但通常有兩個是最重要的：
- 沃羅諾伊細胞 $ \mathcal{V}(L) = {x\in\mathbb{R}^n\mid \forall \ell\in L\setminus{0}, \lVert x\rVert_2\leq \lVert x-\ell\rVert_2} $ ，例如它是點 $ \mathbb{R}^n $ 比任何其他格點更接近 0。
- 基本平行管 — 作為基礎 $ \mathbf{B} $ 格子的，這是集合 $ \mathbf{B}[0,1)^n $ （或者有時 $ \mathbf{B}[-1/2,1/2)^n $ .
關於邊界上的一些問題，一個基本域“瓦片空間”，意思是總和
$$ L + D = \mathbb{R}^n $$
是一個分區。如果我們假設晶格是 $ q $ -ary，我們可以減少一切 mod $ q $ 得到那個 $ (L\bmod q) + (D\bmod q) = \mathbb{R}/q\mathbb{R}^n $ 也是一個分區
$$ 1 $$. 採取卷，我們明白了 $$ |L\bmod q||D\bmod q| = q^n\implies |L\bmod q| = \frac{q^n}{|D|} = \frac{q^n}{\det L}. $$ 然後你想要什麼來自使用晶格是 $ m $ 維，並且有 $ |L\bmod q| = q^{m-n} $ 點，所以行列式必須是 $ q^n $ .
$$ 1 $$特別不規則的基本領域可能存在一些問題 $ D $ 這裡（特別是不包含在 $ [-q/2, q/2)^n $ ，但如果你讓 $ D $ 作為 Voronoi 細胞，一切似乎都很好，我什至不確定我提到的這種擔心是否出於特定原因。