基於格的密碼學中平滑參數的目的是什麼？
我看到幾乎所有基於格的加密論文都在談論平滑參數 $ \eta $ . 而且我相信甚至選擇了一些參數。但是，我不太明白它的目的是什麼。它與格子有什麼關係？為什麼它對密碼學有用且重要？
正如上面評論中提到的，平滑參數有很多用途。這裡提供了一些關於它為什麼有用的直覺。
為一個依據 $ B $ 滿級的 $ n $ 維格，讓 $ P(B) $ 是格子的平行六面體 $ \Lambda = L(B) $ . 考慮取點操作 $ x \in \mathbb{R}^n $ 反對 $ P(B) $ ，也就是找到唯一向量 $ y \in P(B) $ 這樣 $ x - y \in \Lambda $ . 換句話說， $ x \equiv y \mod P(B) $ .
現在，考慮一個採樣點的分佈 $ P(B) $ 通過以下方式。它首先對一個點進行採樣 $ e \in \mathbb{R}^n $ 從中心為 0 和參數 s 的連續高斯分佈，然後計算 $ t \equiv e \mod P(B) $ . 分佈的輸出是 $ t $ . 如果高斯參數 $ s $ 大於晶格平滑參數 $ \eta $ , 那麼分佈 $ t $ 與均勻分佈在統計上無法區分 $ P(B) $ . 相反，如果 $ s $ 小於平滑參數，比 $ t $ 很可能接近某個格點。
為了提供對這裡發生的事情的更多幾何直覺，想像在平行六面體的每個頂點周圍放置球 $ P(B) $ ，並考慮這些球中的每一個與 $ P(B) $ . 這是一個很好的練習，可以證明這些交叉點實際上總和為一個球。現在，想像一下相反的方向，取一個球並根據平行六面體中頂點的角度將其分割，然後將球的每個片段分配給相應的頂點。這個球是我們在上面的分佈中開始的連續高斯。平滑參數是球的最小“半徑”，這樣，當以這種方式分配區域時，重疊分佈與均勻分佈無法區分 $ P(B) $ .
平滑參數與許多其他晶格常數密切相關，尤其是覆蓋半徑和連續最小值等參數。這只是它擁有的眾多有趣特性之一。