相關係數之間的關係F^(w)=C(f(一),在噸一）F^(在)=C(F(一個),在噸一個)widehat F(w) = C(f(a), w^ta)和(−1)F(一)(−1)F(一個)(-1)^{f(a)}
在Joan Daemen 等人的論文Correlation Matrices中。al.，作者指出（第 3 頁），如果相關係數 $ C(f(a),w^ta) $ 布爾函式 $ f $ 表示為 $ \widehat F(w) $ 然後$$ \widehat f(a) = \sum_w \widehat F(w) (-1)^{w^t a}, $$ 和 $ \widehat f(a) = (-1)^{f(a)} $ .
有人可以解釋為什麼這個公式是正確的嗎？
Kodlu 已經給出了提示，但這裡有更多細節（因為我認為這不是功課）。根據定義（或參考中的等式 3），
$$ \widehat F(w)= C(f(a), w^t a) = 2^{-n} \sum_{x \in \mathbb{F}_2^n} (-1)^{f(x) + w^t x}. $$
因此
$$ \sum_{w \in \mathbb{F}2^n} \widehat F(w) (-1)^{w^t a} = 2^{-n} \sum{x \in \mathbb{F}2^n} (-1)^{f(x)} \left(\sum{w \in \mathbb{F}_2^n} (-1)^{w^t (x + a)}\right). $$
每當內部總和為零 $ x \neq a $ 並且等於 $ 2^n $ 否則。因此
$$ \sum_{w \in \mathbb{F}2^n} \widehat F(w) (-1)^{w^t a} = \sum{x \in \mathbb{F}2^n} (-1)^{f(x)} \delta{x, a} = (-1)^{f(a)} = \widehat f(a). $$
我使用了與您的參考文獻中相同的符號。如果您想更全面地了解此結果，您應該閱讀有關（局部緊湊）組的傅立葉變換。