Regev 密碼系統中的機率分佈函式
在Regev - On Lattices, Learning with Errors, Random Linear Codes, and Cryptography中，第 5 章，公鑰加密系統，它指出
機率分佈函式 $ \chi $ 被認為是 $ \Psi_{\alpha(n)} $ …我們可以選擇 $ \alpha(n)=1/(\sqrt n\ log^2n) $
該文件在 §1 中指出標準偏差是 $ p\alpha $
如何 $ \Psi_{\alpha(n)} $ 看起來像 ？
我應該採取 $ \Psi_{\alpha(n)}(x)=\frac{1}{p\alpha(n)\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x}{p\alpha(n)})^2} $ 或者 $ e^{-\pi(\frac{x}{p\alpha(n)})^2} $ ?
編輯
該文件還指出，曲線以 0 為中心，為零的機率大致為 $ \frac{1}{p\alpha(n)} $ .
所以從通用機率密度函式開始 $$ f(x|\mu,\sigma2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{\frac{-1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2} $$ 我最好的猜測是
$$ \Psi_{\alpha(n)}(x)=\frac{1}{p\alpha(n)}e^{-\frac{\pi x^2}{(p\alpha(n))^2}} $$
確認將不勝感激。
您問題中的任何一種選擇都不完全正確。分佈 $ \Psi_{\beta} $ 如您參考文獻第 2 節中的等式 (7) 所定義： $$ \Psi_{\beta}(r) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} \frac{1}{\beta},\exp\left(-\pi \left(\frac{r - k}{\beta}\right)^2\right), $$
為了 $ r \in [0, 1) $ . 所以 $ \beta $ 不是正態分佈的標準差（相反，標準差是 $ \beta / \sqrt{2\pi}) $ . 注意 $ \Psi_{\beta} $ 雖然不是正態分佈，而是正態分佈的“週期化”。
還要記住 $ \bar \Psi_\beta $ 是一個離散化的版本 $ \Psi_\beta $ ，即乘以後得到的分佈 $ p $ 並四捨五入到最接近的整數 mod $ p $ . 這就是為什麼介紹中提到 $ \bar\Psi_{\alpha} $ 具有（大致）具有標準偏差的正態分佈的形狀 $ p \alpha $ .