解釋curve25519的模減少，將hi位乘以38技巧？
我了解到有一個技巧可以加快 x25519 曲線中一個點（x 值）的模數減少。因為，它使用素數 $ 2^{255} - 19 $ .
來自文章：
減少模利用了這樣一個事實： $ 2^{255} - 19 $ . $ 2^{256} \equiv 38 $ ， 所以 $ 38r4 $ 被添加 $ r0 $ 和 $ 38r5 $ 被添加 $ r1 $ 等等。
$ r_n $ 是大小為 64 位的寄存器。
我遇到的問題。我真的不明白為什麼會這樣？我想知道是否有人可以擴展這個？
讓 $ p = 2^{255} - 19 $ .
清楚地 $ p \equiv 0 \pmod p $ ， 意義 $ p $ （模數）除 $ p - 0 $ （等式的兩側），或等效地：存在一些整數 $ k $ 這樣 $ p - 0 = k\cdot p $ . （這裡 $ k = 1 $ .)
所以 $ 2^{255} - 19 \equiv 0 \pmod p $ ， 因此 $ 2^{255} \equiv 19 \pmod p $ , 表示存在一些 $ k $ 這樣 $ 2^{255} - 19 = k\cdot p $ . （又是在這裡， $ k = 1 $ .)
如果我們將等式兩邊乘以 $ 2 $ ，那麼我們得到 $ 2\cdot 2^{255} \equiv 2\cdot 19 \pmod p $ , 表示存在某個整數 $ k $ 這樣 $ 2\cdot 2^{255} - 2\cdot 19 = k\cdot p $ . （這裡 $ k = 2 $ .)
但是這個等式只是 $ 2^{256} \equiv 38 \pmod p $ .
因此，每當您進行算術模運算時 $ p $ , 數量 $ 2^{256} $ 和 $ 38 $ 是等價的。由於減少模 $ p $ 是環同態——也就是說，$$ [(a + b) \bmod p] \equiv [(a \bmod p) + (b \bmod p)] \pmod p, $$和同樣的乘法——我們可以拆分一個數字 $ n $ 進入低 256 位 $ n_{\mathrm{lo}} $ 其餘的 $ n_{\mathrm{hi}} $ 以便 $ n = n_{\mathrm{lo}} + 2^{256} n_{\mathrm{hi}} $ . 然後$$ n = n_{\mathrm{lo}} + 2^{256} n_{\mathrm{hi}} \equiv n_{\mathrm{lo}} + 38 n_{\mathrm{hi}} \pmod p. $$