有沒有列出循環群的某些元素的快速方法？

我正在研究應用密碼學，偶然發現了以下問題，以練習有關一致性、組等的知識。

“列出所有元素 $ x $ ， 在哪裡 $ x^2 = 2 $ 在 $ \mathbb{Z}_{31} $

好的，所以天真的方法是迭代組，將元素與自身相乘並檢查其剩餘模數 $ 31 $ 將會 $ 2 $ .

因此，我們正在搜尋具有二次餘數的每個元素 $ 2 $ 在 $ \mathbb{Z}_{31} $ .

是否有任何“筆和紙”解決方案可以做到這一點，而不必迭代每個元素？有沒有可以在這裡使用的定理？

因為這是一個域，所以你知道多項式 $ x^2-2=0 $ 最多可以有 2 個根，僅此而已。您可以使用二次公式（因為域上的多項式環是一個整數域），但這需要提取平方根。但它肯定比檢查所有元素更有效。

還有如果如果 $ a $ 在 $ x^2-a $ 是一個正方形，那麼你可以考慮 $ (x^2-a)=(x-b)(x+b) $ 在哪裡 $ b^2=a. $

引用自：https://crypto.stackexchange.com/questions/77408