符號的含義是什麼⟨a,b⟩⟨一個,b⟩langle a, brangle在某些密碼學論文中？

我正在嘗試理解 Brakerski 和 Vaikuntanathan 的論文。在其中，他們使用符號 $ \langle a,b \rangle $ 但他們沒有解釋這意味著什麼。

這個問題的答案說這只是編寫元組的另一種方式，但我認為在這種情況下這是不對的，因為作者使用正常 $ (a,b) $ 在論文的其餘部分中使用符號來表示一個元組。

有誰知道還有什麼 $ \langle a,b \rangle $ 可能是什麼意思？

在數學中， $ \langle a,b \rangle $ 表示兩個向量的內積，這是內積的推廣。它是向量空間中向量的乘法之一，結果是一個標量。

內積滿足這些性質

1. $ \langle c+a,b\rangle =\langle c,a\rangle +\langle a,b\rangle $ .
2. $ \langle \alpha a,b\rangle = \alpha\langle a,b\rangle $ 在哪裡 $ \alpha $ 是一個標量。
3. $ \langle a,b\rangle =\langle b,a\rangle $ .
4. $ \langle a,a\rangle = 0 $ 且當且僅當 $ v=0 $ .

• 第四個條件是正定條件。一些作者僅使用前 3 個條件和較弱的第 4 個條件定義內積 $ \langle a, b \rangle =0 $ 對所有人 $ b $ 然後 $ a=0 $ .正如@levgeni 的評論中所述，如果該欄位是 $ \mathbb{F}_2 $ 然後

$$ \langle (1,1),(1,1) \rangle = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 2 = 0 $$和 $$ \langle (1,1),(1,0) \rangle = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 1 = 1 $$因此，需要較弱的條件。

內積定義根據向量空間而變化。在論文的上下文中，讓

$$ a =(a_1,\ldots,a_n) $$ $$ b =(b_1,\ldots,b_n) $$

那麼是兩個n維向量；

$$ \langle a, b \rangle = a_1 \cdot b_1 + \cdots + a_n \cdot b_n $$

引用自：https://crypto.stackexchange.com/questions/77150