之間的區別從∗n從n∗Z^*_n和從n從nZ_n

在研究循環群時，我偶然發現了以下句子：

中的 * $ Z_n^ $ 強調我們只考慮乘法而忘記了斯坦福*這個網站上的加法。

我真的不明白這個定義，因為我了解到 $ Z_n^* $ 只是由循環群的元素的所有元素組成，減去 0。乘法和加法從哪裡來？

$ \mathbb{Z}_n^* $ 並不意味著 $ \mathbb{Z}_n - {0} $ . 您必須刪除所有不可逆 mod 的元素 $ n $ ，這相當於只保留與 $ n $ .

所以， $ \mathbb{Z}_n^* = {x \in \mathbb{Z}_n : \exists x^{-1} \in \mathbb{Z}_n } = {x \in \mathbb{Z}_n : gcd(x, n) = 1} $ .

這是必要的，因為組中的所有元素都必須具有逆元素（關於組操作）。在 $ \mathbb{Z}_n $ , 群運算為 $ + $ , 所以, 任何 $ x $ 有 $ -x $ 作為逆模 $ n $ . 但在 $ \mathbb{Z}_n^* $ ，運算是乘法，因此，某些元素可能沒有逆模 $ n $ .

例如，採取 $ \mathbb{Z}_9 $ . 要素 $ 0, 3, $ 和 $ 6 $ 不可逆 mod 9（我們不能將它們乘以其他元素並減少 mod $ 9 $ 獲得 $ 1 $ ）。所以， $ \mathbb{Z}_9^* = {1, 2, 4, 5, 7} $ .

引用自：https://crypto.stackexchange.com/questions/47797