對於 Diffie-Hellman，g 必須是生成器嗎？
由於最近有一些關於 Diffie-Hellman 的問題，我今天早上在想：必須 $ g $ 在 Diffie-Hellman 中是生成器嗎？
回想一下 Diffie-Hellman 的數學：
給定公共參數 $ p $ （一個大素數）和 $ g $ （總是被稱為發電機 $ \mathbb{Z}^*_p $ ).
- 愛麗絲選擇 $ a $ 隨機發送 $ A \gets g^a \mod{p} $ 給鮑勃。
- 鮑勃選擇 $ b $ 隨機發送 $ B \gets g^b \mod{p} $ 給愛麗絲。
- 愛麗絲計算 $ S \gets B^a \mod{p} $
- Bob 計算 $ S \gets A^b \mod{p} $
從上面的數學，我看不出有什麼需要 $ g $ 成為一個生成器，所以數學應該可以工作，即使 $ g $ 不是發電機。
就安全性而言，顯然有 $ g $ 做一個發電機最好 $ |g| $ （或順序 $ g $ ) 將是最大的 $ g $ 確實是發電機。這是選擇的唯一理由嗎 $ g $ 成為發電機？
首先，我們討論的是乘法，所以我們在 $ \mathbb{Z}_p^* $ ， 不是 $ \mathbb{Z}_p $ .
根據定義，任何整數 $ g \in \mathbb{Z}p^* $ 是…的生成器 $ g $ ，即集合 $ g^k \mod p $ 對於所有整數值 $ k $ . 的順序 $ g $ 是最小的 $ k \geq 1 $ 這樣 $ g^k = 1 \mod p $ .
為了健全（Alice 和 Bob 最終使用相同的共享密鑰），任何 $ g $ 會做。
為了安全起見，我們需要順序 $ g $ 是足夠大的素值的倍數，通常表示為 $ q $ . 沒有必要 $ g $ 產生整個 $ \mathbb{Z}p^* $ . 沒有必要的順序 $ g $ 正是** $ q $ .
如果 Diffie-Hellman 的目標安全級別是“ $ t $ 位”（即係統將抵抗攻擊至少達到計算工作量 $ 2^t $ ）， 然後 $ p $ 必須足夠大（有關估計，請參閱此站點，但粗略地說，您需要一個 1024 位整數 $ t = 80 $ ) 和大小 $ q $ 必須至少 $ 2t $ 位。此外，DH 私鑰 ( $ a $ 和 $ b $ ) 必須是至少隨機且均勻生成的整數 $ 2t $ 位。沒有必要 $ a $ 和 $ b $ 在整數模之間均勻生成 $ q $ ，只是它們是在足夠大的範圍內生成的（這與 DSA 不同，在 DSA 中，我們需要隨機 $ k $ 必須在 $ [1, q-1] $ 範圍）。