雙線性對的線性計算
這是否適用於不對稱雙線性配對？
$ e(x_1,x_2)e(x_3,x_4) = e(x_1x_3,x_2x_4) $ ， 在哪裡 $ x_1,x_3 \in \mathbb{G}_1 $ 和 $ x_2,x_4 \in \mathbb{G}_2 $ 對於雙線性配對 $ e $
我使用乘法符號 $ \mathbb{G}_1 $ 和 $ \mathbb{G_2} $ （如你的問題）因為這可能會讓你更清楚。可以說這些組是最重要的 $ p $ 並且讓我們考慮你的元素 wrt 基礎 $ g_1 $ 和 $ g_2 $ . 讓我們寫你的元素 $ x_1 $ 和 $ x_3 $ 作為 $ g_1^{a_1} $ 和 $ g_1^{a_2} $ 和 $ x_2 $ 和 $ x_4 $ 作為 $ g_2^{b_1} $ 和 $ g_2^{b_2} $ 分別。
然後讓我們看看你的方程式 $ e(x_1,x_2)e(x_3,x_4) = e(x_1x_3,x_2x_4) $ .
我們只使用下面的雙線性。你看到在你的左邊你有
$$ e(g_1^{a_1},g_2^{b_1})e(g_1^{a_2},g_2^{b_2})=e(g_1,g_2)^{a_1b_1+a_2b_2} $$ 讓我們看看右手邊 $$ e(g_1^{a_1}g_1^{a_2},g_2^{b_1}g_2^{b_2})=e(g_1^{a_1+a_2},g_2^{b_1+b_2})=e(g_1,g_2)^{(a_1+a_2)(b_1+b_2)}=e(g_1,g_2)^{a_1b_1+a_2b_2+a_1b_2+a_2b_1} $$ 現在，如果您的平等應該成立，您需要擁有它 $ a_1b_2+a_2b_1=0 $ （在 $ \mathbb{Z}_p $ ) 或者換句話說 $ e(g_1,g_2)^{a_1b_2}e(g_1,g_2)^{a_2b_1}=e(x_1,x_4)e(x_3,x_2)=1 $ . 因此，正如托馬斯已經寫過的，這在一般情況下是不正確的。