是否有提供加密方案磷r{米1=米1∧米2=米2|C1=C1∧C2=C2}=Pr{米1=米1∧米2=米2}磷r{米1=米1∧米2=米2|C1=C1∧C2=C2}=磷r{米1=米1∧米2=米2}Pr{M_1 = m_1wedge M_2 = m…
問題：
考慮以下兩個消息加密的完全保密定義。如果對於 M 上的所有分佈，並且對於所有 $ m_1,m_2 \in M $ 和 $ c_1, c_2 \in C $ 和 $ Pr{C_1 =~c_1 \wedge C_2 =~c_2} > 0 $ :
$ ^{(*)} $ $ Pr{M_1 = m_1\wedge M_2 = m_2 | C_1 = c_1 \wedge C_2 = c_2} = Pr{M_1 = m_1 \wedge M_2 = m_2} $ ， 在哪裡 $ m_1 $ 和 $ m_2 $ 是從 M 上的相同分佈獨立採樣的。證明沒有加密方案滿足這個定義。
我的歸納：
所以我認為如果加密方案提供 $ ^{(*)} $ 那麼它就不能提供正確的條件。
( $ Pr{k\longleftarrow Gen();c=Enc_k(m);\hat{m}=Dec_k(c):m=\hat{m}}=1 $ )
因為讓 $ m_1,m_2=m $ 和 $ c_1,c_2=Dec_k(m) $ 在 $ ^{(*)} $ . 似乎我們無法確定是否 $ c $ 是密碼 $ m $ 與否，但我也無法證明
$ Pr{k\longleftarrow Gen();c=Enc_k(m);\hat{m}=Dec_k(c):m=\hat{m}}<1 $
讓 $ M_1,M_2 $ 是一個分佈，其中 $ \exists m_1,m_2 $ 那 $ Pr{M_1=~m_1 \wedge~M_2=~m_2} \neq 0 $ 和 $ m_1 \neq m_2 $ 顯然存在這種分佈。
認為 $ \Pi $ (Gen,Enc,Dec) 滿足問題的陳述並且 $ |M|\neq 1 $
讓 $ m_1\neq m_2 $ 但 $ c_1=c_2=c $
$ ^{(*)} $ $ Pr{M_1=~m_1 \wedge M_2=~m_2 |C_1=~c \wedge C_2=~c}=Pr{M_1=~m_1 \wedge~M_2=~m_2} $
如果 $ Pr{M_1=~m_1 \wedge M_2=~m_2 |C_1=~c \wedge C_2=~c}\neq 0 $ 然後 $ m_1,m_2 $ 用相同的密鑰加密上述機率不等於0所以
$ Pr{k\leftarrow Gen();c=Enc_k(m);\hat{m}=Dec_k(c):m=\hat{m}} \neq 1 $ 但這與 $ \Pi $ 是一種加密方案。
所以 $ Pr{M_1=~m_1 \wedge M_2=~m_2 |C_1=~c \wedge C_2=~c}= 0 $ 並根據 $ ^{(*)} $ $ Pr{M_1=~m_1 \wedge~M_2=~m_2} $ 也等於零 $ \forall m_1 \neq m_2 $ 這也與我們選擇分佈的方式矛盾。
所以沒有加密方案可以滿足 $ ^{(*)} $