涉及模冪運算的密碼系統
我正在閱讀初等數論課程中的“密碼學導論”一章，其中我正在研究涉及模冪運算的密碼系統。
教科書（David M. Burton 著）說：
希望隱藏資訊的使用者可能會首先選擇一個（大）素數 p 作為加密模數，並選擇一個正整數 2 < k < p - 2，即加密指數。模數和指數都保密，必須滿足 gcd(k, p - 1) = 1。加密過程開始於通過“數字字母表”將消息轉換為數字形式 M，其中明文的每個字母替換為兩位整數。假設明文數M小於加密模數p；否則，將無法將 M 與與它模 p 相等的較大整數區分開來。
有人可以為我澄清最後一行（斜體）嗎？可能，通過舉例說明為什麼無法將 M 與與它模 p 相等的較大整數區分開來。當 M 大於 p 時究竟會發生什麼？
有人可以為我澄清最後一行（斜體）嗎？
好的，這是一個非常簡單的範例，說明可能會出現什麼問題。
舉一個非常簡單的例子，讓我們考慮 $ p=11 $ （比他們指定的要小，但它的作用是一樣的，它會使計算更簡單），和 $ k=3 $ .
假設我們要加密消息 $ m=2 $ ; 我們要加密的是計算 $ m^k \bmod p $ ， 在這種情況下， $ 2^3 \bmod 11 = 8 \bmod 11 = 8 $ . 並且，稍後在文本中，他們將解釋如何解密。
但是，要回答您的問題，假設我們要嘗試加密消息 $ m=13 $ . 在這種情況下，我們會計算 $ 13^3 \bmod 11 = 2197 \bmod 11 = 8 $ . 也就是說，我們得到了完全相同的密文 $ m=2 $ ; 這意味著如果我們得到密文 $ 8 $ ，我們無法判斷原件是否 $ m $ 曾是 $ 2 $ 或者 $ 13 $ （預設情況下，我們假設它小於 $ p $ ，即， $ m=2 $ ).
事實證明，這種加密方法總是處理任何 $ m $ 完全相同的方式 $ m+p $ ; 因此，如果我們收到大於 $ p $ ，總會有一條較小的消息以相同的方式加密。
作為旁注，當我計算 $ m^k \bmod p $ , 我把它寫成 $ m^k $ 然後應用 $ \bmod p $ 手術。這適用於這些小玩具範例，但在實際案例中，我們將 $ m^k $ 成一系列模乘和平方，並在每次乘法/平方之後應用模運算。這與您的問題無關 - 我只是想預測未來可能的混亂來源。