生成素數 p 和 q，具有 q 階元素的 alpha
我正在研究 VSSS (Feldman)，但我無法理解以下聲明：
我不擅長閱讀數學陳述（但正在研究它）。任何人都可以用簡單的數學來解釋這一點。範例將不勝感激。謝謝你。
編輯：
這是我到目前為止得到的。
給定以下值：n=4, k=3, s=12, p=5, q=3, g=4
其中 n 為否。份額，k 是門檻值，s 是秘密，p 和 q 是素數，g 是生成器
使用多項式函式 f(x) = 12 + 3x +2x^2。
那麼，f(2) = 68 mod q = 68 mod 3 = 2
承諾計算：
c1 = g^12 mod p = 4^12 mod 5 = 1
c2 = g^3 mod p = 4^3 mod 5 = 4
c3 = g^2 mod p = 4^2 mod 5 = 1
其中, cx 是承諾，12,3 & 2 是 coef
驗證：
g ^ f (2) mod p = 4 ^ 2 mod 5 = 1
c1^x^0 mod p = 1^2^0 mod 5 = 1
c2^x^1 mod p = 4^2^1 mod 5 = 4
c3^x^3 mod p = 1^2^2 mod 5 = 1
其中 x 是 f(x) 中 x 的值，即 2。
1+4+1 <> 1 ????
怎麼了？？？我做對了嗎？
有生成素數 $ p $ 和 $ q $ 這樣 $ q | (p-1) $
這意味著我們搜尋兩個素數 $ p $ 和 $ q $ , 約束為 $ q $ 是一個除數 $ p-1 $ . 那是， $ kq = p-1 $ 對於某個整數 $ k $ .
在實踐中，這很容易做到；我們首先選擇一個素數 $ q $ 適當大小，然後搜尋該值 $ k $ 適當大小的值，直到我們找到一個值 $ p = kq + 1 $ 這也是素數。
和 $ \alpha \in \mathbb{Z}_p^* $ …
$ \mathbb{Z}_p^* $ 是乘法群模 $ p $ ; 它的元素對 1 和 p 之間互質的有明顯的辨識 $ p $ （並且由於 $ p $ 是素數，這意味著值 $ [1, p-1] $ ）， 和
秩序元素 $ q $ .
這意味著最小的正值 $ \lambda $ 為此 $ \alpha^\lambda \equiv 1 \pmod p $ 是 $ \lambda = q $ .
事實證明，找到這樣的值要容易得多 $ \alpha $ 超出您的預期；你選擇一個任意值 $ \beta \in [2, p-2] $ 並設置 $ \alpha = \beta ^ {(p-1)/q} \pmod p $ . 只要 $ \beta \ne 1 $ ， 然後 $ \alpha $ 將有一個準確的訂單 $ q $ .
- 我們知道 $ \alpha^q = (\beta ^ {(p-1)/q})^q = \beta ^ {p-1} = 1 $ 由費馬小定理（並且因為 $ p $ 是素數）
- 我們知道 $ \alpha^r \ne 1 $ 對於任何 $ 0 < r < q $ ， 因為如果 $ \alpha^r = 1 $ ，那麼我們可以證明 $ \alpha^{\gcd(q, r)} = 1 $ ， 並作為 $ q $ 是素數， $ \gcd(q, r) = 1 $ ，所以我們有 $ \alpha^1 = 1 $ ，我們已經驗證不是這種情況