Shamir 的秘密共享方案中有限域算術和素數 p 的必要性
Shamir 描述門檻值秘密共享方案的原始論文(PDF, 197kb) 指出：
為了使這個說法更精確，我們使用模運算而不是實數運算。以素數為模的整數集 $ p $ 形成一個可以進行插值的域。給定一個整數值數據 $ D $ ，我們選擇一個素數 $ p $ 比兩者都大 $ D $ 和 $ n $ . 係數 $ a_1,…,a_{k-1}~ $ 在 $ q(x) $ 從 [0 中整數的均勻分佈中隨機選擇， $ p $ ) 和值 $ D_1,…,D_n $ 是模計算的 $ p $ .
在哪裡：
- $ D $ 是要分享的秘密
- $ n $ 是股數
- $ k $ 是重建所需的門檻值份額數 $ D $
- $ q(x) $ 是一個 $ k-1 $ 階多項式 $ q(0)=D $ and the coefficients $ a_1,…,a_{k-1}~ $
- $ D_1,…,D_n $ 是個別股份（多項式上的點 $ q(x) $ )
有人可以解釋（以最簡單的方式）Shamir 的秘密共享方案使用有限域算術的原因嗎？另外，為什麼伽羅瓦域的大小必須是一個素數，滿足 Shamir 提出的要求？
問這些問題的原因是：我想在 Javascript 中使用大小欄位實現 Shamir 共享 $ 2^8 = 256 $ ， 哪一個：
- 將消除對 Javascript 的大型整數庫的需要，例如jsbn
- 將簡化數學。
無論要共享的密鑰大小如何，都可以將其分解為字節長度的段並在這些段上執行數學運算。由此產生的份額將是每個細分市場上必要操作的結果的串聯。
為了找到秘密，可以再次將共享分解為字節長度的段。多項式插值可以使用來自共享的相應字節長度段來完成，以獲得秘密的各個段。然後可以連接這些片段以形成完整的秘密。
這會起作用並且在密碼學上是安全的嗎？
如果確實有一個素數的絕對必要性 $ p $ ，我可以使用任何小的素數和所描述的連接來在 Javascript 中執行必要的操作並且仍然保持加密安全嗎？
Shamir 的方案中沒有理由用於有限域 $ \mathbb F $ 有一個素數 $ p $ 元素；該領域可以有 $ p^m $ 適合素數的元素 $ p $ 和整數 $ m \geq 1 $ . 所以，使用 $ F_{2^8} $ , 場與 $ 2^8 $ 元素完全沒問題。然而，選擇 $ m = 1 $ 具有計算在 $ \mathbb F_p $ 可以使用微處理器等中包含的標準算術單元來完成（隨後是整數除法以進行 mod $ p $ 操作）而使用 $ \mathbb F_{p^m} $ 需要有一個已經可用的庫（或正在開發一個庫）或建構一個用於該領域算術的處理器。
鑑於您有能力在 $ \mathbb F_{2^8} $ , 如果您願意，可以使用此欄位。但是，（正如你所說）在沙米爾的計劃中，秘密只是該領域的一個元素（一個 $ 8 $ -bit byte)，因此，如果要共享的 Secret 有幾個字節長，則需要將每個字節分別處理為其（一個字節）共享，並將 $ i $ -th 共享字節到 $ i $ - 第一份秘密。請記住，每個字節最多可以分為 $ 255 $ 股（點 $ q(0) $ 在 $ q(x) $ 由於明顯的原因不能使用），所以如果你需要超過 $ 255 $ 要分發的股份，您將不得不使用不同的欄位。最後，為了維護加密安全，在計算與 Secret 的每個字節對應的份額時，您應該完全按照您在評論中所說的去做：使用不同的“隨機選擇的係數”集 $ q(x) $ ，而不是一遍又一遍地重複使用相同的集合來查找所有字節的份額。