可以將具有公共索引的模冪運算視為安全排列嗎？
安全排列可用於 Sponge 和 Duplex 構造，以建構散列函式和加密。為了在公鑰密碼學中潛在地使用它們，需要一些算術屬性。
可以將具有公共索引的模冪運算視為安全排列嗎？有哪些公開攻擊可用？是否存在被證明不安全的結構？
可以將具有公共索引的模冪運算視為安全排列嗎？
我假設排列思想是 $ f_{(n,e)}:\ x\mapsto x^e\bmod n $ 奇怪的 $ n>2 $ ， 奇怪的 $ e>1 $ ， 和 $ x $ 在集合中 $ {0,1,\ldots n-2,n-1} $ 少一些子集 $ {0,1,n-1} $ .
$ f_{(n,e)} $ 是一個排列，當 $ n $ 是無平方的，並且 $ e $ 與 $ \varphi(n) $ .
什麼時候 $ n $ 有 $ k $ （不同的）主要因素， $ f $ 有 $ 3^k $ 靜止點：任意 $ x $ 和 $ x\bmod p\in{0,1,p-1} $ 對於每個素數 $ p $ 劃分 $ n $ . 那總是包括 $ 0 $ , $ 1 $ ， 和 $ n-1 $ ，這就是我們可能想要刪除它們的原因。
如果 $ 2^i+3 $ 是素數（即對於 $ i $ 在A057732中），和 $ e $ 與 $ 2^i+2 $ ， 然後 $ g_{(i,e)}:\ x\mapsto((x+2)^e-2)\bmod(2^i+3) $ 是一個排列 $ [0,2^i) $ （它很容易映射到 $ i $ -bit 位串），去除了三個明顯的固定點。我們可能還想要 $ e>i $ ，並且可能想要 $ e $ 低漢明權重。該構造可能有用的範例： $ (i,e)=(30,65) $ ， 或者 $ (i,e)=(784,1025) $ . 後者是一個 98 字節的排列，評估起來相當快。在一些加密環境中有很好的硬體支持。
當因式分解時，排列很容易可逆 $ n $ 是公開的：我們像在 RSA 中那樣做，更糟的是 $ \log_2(n)/\log_2(e) $ 比直接排列更昂貴。
那安全嗎？這取決於使用情況。它擁有 $ f_{(n,e)}(x)f_{(n,e)}(y)\bmod n=f_{(n,e)}(x,y\bmod n) $ , 這使得排列 $ f_{(n,e)} $ 非常特別，並且有模擬屬性 $ g_{(i,e)} $ . 因此，在這些的所有案例中，我們沒有一個很好的隨機排列替代品，但是當在一些對稱加密原語中與 XOR 結合幾輪時，這可能會做到。