不同橢圓曲線的公鑰大小
假設我在使用 ECIES 時需要一定程度的安全性（例如 128 位），但我也想盡量減少通信，使用的橢圓曲線對公鑰的大小有影響嗎？如果它確實重要，那麼目前最先進的橢圓曲線是什麼？它與流行的橢圓曲線（如 Curve25519 或 secp256k1）相比如何？
如果它確實重要，那麼目前最先進的橢圓曲線是什麼？它與流行的橢圓曲線（如 Curve25519 或 secp256k1）相比如何？
好吧，如果你有一個橢圓曲線的大小子組很大 $ q $ （這是素數），那麼我們知道如何計算該子組中的離散對數 $ O(\sqrt{q}) $ 時間，這適用於所有橢圓曲線（實際上是所有組）。
所以，為了使這次攻擊採取 $ 2^{128} $ 時間，我們需要一個 $ q \approx 2^{256} $ .
並且，由於哈斯定理，對於特徵曲線 $ p $ ， 我們有 $ p + 2\sqrt{p} > q $ ，或者換句話說，最小的 $ p $ 可以是大約256位。
表示公鑰的標準方法是給出 $ x $ 座標為整數；這是一個介於 0 和 $ p-1 $ ; 也就是說，一個 256 位的值。
因此，選擇 Curve25519、secp256k1 或 P256 以外的曲線不會給我們帶來任何好處。該替代曲線要麼會降低安全性，要麼具有至少一樣大的公鑰。
關於唯一可以嘗試想出一種簡化的傳輸方法的方法 $ x $ 協調; 一種簡單的方法是總是選擇一個 $ x $ 協調 $ k $ 頂部的 0 位（只是不傳輸那些 $ k $ 位顯式）；使用拒絕採樣找到這樣的密鑰需要 $ O(2^k) $ 時間，並會節省 $ k $ 位 - 如果您需要保存一兩個字節，也許是可行的 - 顯然不可行保存更多。我不知道找到符合類似空間節省技術的公鑰的更聰明的方法。