連續素數分佈之間的距離
在幾個素數生成方案中，我看到我們從很寬的範圍內隨機均勻地選擇一個隨機數，然後找到它之後的下一個素數。
顯然，在這種方案中，一些素數比其他素數更有可能，一個素數的可能性與與前一個素數的距離一樣。
問題是這有多不平衡？如果一個友好的外星人給了我一個列表，列出了範圍更廣的前 X 個最有可能的素數，那麼上述方案中的隨機素數在列表中的可能性有多大？
首先是一些經驗結果，在前 100 萬個素數中，到 0.1% 將出現 0.65% 的時間，前 1% 將出現 4.7% 的時間，前 10% 將出現 29% 的時間。
從https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_gap
查看視覺效果 看起來它的尾巴並不重，而且似乎超線性下降。這表明小尾巴永遠不會佔很大一部分。
對於較大的數字，質數間隙和 $ ln(p) $ 是 41（這個比率稱為優點），這是已知的最大而不是上限，但是如果我們將其作為上限，並且如果我們將 ln(p) 作為平均距離，將 2 作為最小距離。最極端的不平衡是，如果所有間隙都最大或最小（顯然不僅僅是邊界的情況）。我們將最大間隙的比率標記為 r。所以我們會得到 $ ln(p)=r * ln(p)41+ 2(1-r) $
這導致 $ r=(ln(p)-2)/(41*ln(p)-2) $ 為了 $ p=2^{1024} $ 結果是 2.5%，而這些會出現 99% 的時間。但顯然我們不能有很多大小為 2 的差距。我們可以稍微改善這一點，但不會太多。因此，我們的期望和我們可以證明的結果之間存在巨大差異。如果我們想要一個更強有力的主張，那麼假設最大價值情況會變得更糟，我們可以將差距限制為不超過 $ p^{0.525} $ 如果再次假設有一個差距幾乎完全是這個最大值或非常小的範圍，我們將能夠得到一個更極端的比率。然而，即使是這種情況也不足以進行有效的分解。如果我們有一個範圍 $ 2^{1023} $ 至 $ 2^{1024} $ 即使有最大的差距，那裡仍然有很多素數。如果我們嘗試將試除法考慮在內，那麼與其他方法沒有競爭力的幼稚試除法相比，我們將得到的速度不會超過平方根。