為什麼馮諾依曼校正器僅在輸入位相互獨立且偏差相同時才起作用？
我讀了一些提到馮諾依曼校正器的論文。他們總是假設對於馮諾依曼校正器，輸入位相互獨立且具有相同的偏差
為什麼馮諾依曼校正器僅在輸入位相互獨立且偏差相同時才起作用？
為什麼馮諾依曼校正器僅在輸入位彼此獨立且偏差相同時才起作用？
基本的馮諾依曼二偏器是這樣工作的：你生成兩個位 X、Y，然後用這個邏輯輸出一個位（或不輸出一個位）：
X=0 Y=0 -> No output X=0 Y=1 -> Output a 0 X=1 Y=0 -> Output a 1 X=1 Y=1 -> No output如果 X 和 Y 不相關且具有相同的偏差（即它們為 0 的機率為 $ p $ 1的機率是 $ (1-p) $ )，然後立即得出上述過程輸出 0 的機率為 $ p(1-p) $ 和 1 的機率是 $ p(1-p) $ ，這是相同的（並且有一個機率 $ p^2 + (1-p)^2 $ 不輸出任何東西——我們將用另外兩個輸入位再次執行它）。此外，因為我們假設輸入位是獨立的，所以在獨立的輸入位上多次執行 debiaser 將產生獨立的輸出。
但是，您的問題是“如果這些位不獨立或不具有相同的偏差怎麼辦”）。
在這種情況下，上述邏輯不成立。
如果位包含不同的偏差，即如果第一位為0的機率 $ p $ , 第二位為 0 的機率 $ q \ne p $ )，那麼 0 的機率是 $ p(1-q) = p - pq $ 並且 1 的機率是 $ q(1-p) = q - pq $ ，正如我們假設的那樣 $ p \ne q $ ，這些顯然不同，因此 dibiaser 的輸出是有偏差的。
如果位共享相同的平均偏差，但相關，則可能發生的情況是來自去偏器的序列位可能是相關的。例如，如果一個序列在90% 的時間
01後面跟著另一個序列（對於一個序列也是如此），那麼來自 debiaser 的相鄰輸出本身將是強相關的，也就是說，dibiaser 未能將原始輸入字元串轉換為一些“隨機”的東西。01``10以前的答案（只是給出了反例）：
考慮這樣一種情況，其中偶數輸入位在 90% 的時間中為 0，而奇數輸入位在 90% 的時間中為 1.
在這種情況下，馮諾依曼校正器的輸出比輸入的偏差更大。
為您練習：設計一個類似的反例，其中位不相互獨立……
保羅抱怨說我的例子“太極端了”（不管那是什麼意思——我曾認為任何反例都適用）。無論如何，我會用另一個更極端的例子來回應。
考慮一個生成具有這種機率分佈的比特對的原始源：
- 00 機率為 1/3
- 01 機率為 1/3
- 11 機率為 1/3
（每一對與任何其他對都不相關）。
簡單計算表明，每一對的香農熵為 $ log_2(3) \approx 1.5850 $ 位（或大約 $ 0.7925 $ 每比特的熵比特）。
但是，如果我們通過馮諾依曼校正器執行它，我們會得到一個熵為0位的流……