XOR 一組隨機數
關於 XOR 和熵的基本問題 - 給定一個集合 $ S $ 範圍內的偽隨機數 $ [0,b] $ , 將它們異或產生一個新的偽隨機數 $ [0,b] $ 還是該操作會降低熵？在某些數字的情況下 $ S $ 不是隨機的。例如，根據某些確定性過程選擇 - 這如何影響 XORed 結果的隨機性？還將感謝有關此類問題的任何相關數學/加密貨幣的連結。
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假如說 $ b = 2^k-1 $ 對於一些正整數 $ k $ , XORing 範圍內的兩個（或更多）數字 $ [0,b] $ 確實會產生相同範圍內的數字。
如果數字是隨機的，在範圍內均勻分佈且獨立，那麼結果也將是隨機且均勻分佈的。事實上，我們甚至可以證明一個更強的結果，即如果其中一個數字是隨機的並且均勻分佈在整個範圍內，並且獨立於其他數字，那麼結果將是隨機且均勻分佈的。
（有多種方法可以證明這一點。可能最直接的方法是觀察地圖 $ x \mapsto x \oplus c $ 是范圍內的雙射 $ [0,b] $ 無論常量的值如何 $ c $ . 因此，如果 $ x $ 是均勻分佈在範圍內的，那麼也是 $ x \oplus c $ ; 並且因為這對於任何常數都是正確的 $ c $ , 即使 $ c $ 本身就是一個隨機變數，只要它不依賴於 $ x $ . 對於異或的具體情況，也可以先對數的每一位顯示相同的結果，即將問題只歸約到情況 $ b=1 $ ，然後推廣到多個位。）
實際上，同樣的結果也成立，基本上根據定義，即使數字只是偽隨機數，即在計算上與真正的隨機數無法區分。這是因為，如果對它們進行異或運算的結果與真正的隨機數無法區分，那麼這將提供一種有效的方法來區分原始數字和真正的隨機數，從而表明它們一開始就不是真正的偽隨機數。
但是請注意，獨立性（或與獨立隨機數不可區分）的假設很重要。否則，會有一些微不足道的反例，比如選擇一個真正的隨機數 $ x $ 均勻地從 $ [0,b] $ ，然後讓 $ y = x $ . 因此，兩者 $ x $ 和 $ y $ 它們本身是真正隨機且均勻分佈的，但是 $ x \oplus y = x \oplus x = 0 $ .