什麼是“沃爾什函式”？
我目前正在處理所謂的“沃爾什函式”（WF），它的寫法如下：
$$ f^W(a)=\sum_{x\in{F^n_2}}(-1)^{f(x)+(a,x)} $$ 我所知道的是，該函式用於近似任意函式，例如 $ f: F^n_2 \to F_2 $ 並且 $ a $ 在上層函式中是所謂的沃爾什係數。 但是關於WF的詳細資訊是什麼？我能用它做什麼？WF 集合中的元素長什麼樣？據我所知，這套叫沃爾什光譜！？WF如何逼近任意函式？
沃爾什變換（WT）到底是什麼。我知道有一種方法可以進行 WT，即所謂的快速傅立葉變換。我為什麼要做WT？
功能 $ L_a(x)=\langle a,x\rangle=a_1 x_1+\cdots+a_n x_n $ 是一個線性多元函式 $ (x_1,\ldots,x_n) $ .
功能
$$ f(x)+\langle a,x\rangle=f(x_1,\ldots,x_n)+a_1 x_1+\cdots+a_n x_n $$ 等於 $ 0 $ 模式 2 如果 $ f(x)=\langle a,x\rangle $ 和 $ 1 $ mod 2 否則。 總和
$$ \hat{f}(a)=\sum_{(x_1,\ldots,x_n) \in \mathbb{F}_2^n} (-1)^{f(x)+\langle a,x\rangle}, $$ 等於 $ 2^n-2 d_H(f,L_a) $ 併計算函式之間的相關性 $ f $ 和線性函式 $ L_a $ . 這裡 $ d_H(f,L_a) $ 是這兩個函式之間的漢明距離 $ x $ 變化超過 $ \mathbb{F}_2^n. $ 這些中的每一個 $ 2^n $ 相關性（對於不同的 $ a $ ) 可以通過矩陣乘法獲得。 由於映射是可逆的，所以 $ 2^n\times 2^n $ Hadamard 矩陣如下所示：
$$ \left[(-1)^{\langle a,x \rangle}\right] $$ 在哪裡 $ a $ 索引行和 $ x $ 以標準順序索引列。 由於Hadamard矩陣的kronecker結構，存在快速變換和逆變換。具有最大哈達瑪係數的函式 $ \hat{f}(a) $ 最小化稱為彎曲函式，在編碼理論和密碼學中很重要。根據 Parseval 的關係，
$$ \sum_{a \in \mathbb{F}_2^n} |\hat{f}(a)|^2 =2^{2n}, $$ 和彎曲的功能有 $ |\hat{f}(a)|=2^{n/2}. $ 筆記 $ f(0)=0 $ 意味著一個功能是平衡的，彎曲的功能不是。