Rsa
使用 RSA 分別加密每個數字是否安全？
假設 RSA 被認為是一種“安全”的加密方法。RSA 旨在編碼一系列整數基數 $ 27 $ . 如果我們使用 $ n=pq $ 這很難考慮，如果我們單獨編碼每個整數（字母）而不是整個片語一次，它仍然安全嗎？
編輯：我沒想到會得到這麼好的答案。感謝大家！
教科書/普通 RSA 不應用於直接加密消息。這是因為密文是基於消息的確定性的。給定一個竊聽的密文 $ c_i $ . 針對您的計劃的有效攻擊是：
- 獲取密文 $ c_0, …, c_{26} $ 通過使用公共模數加密整數 0-26 $ n $ 和指數 $ e $ .
- 為了 $ j $ 在$$ 0,26 $$, 檢查是否 $ c_i=c_j $ . 如果我們找到這樣一個 $ j $ ，那麼您的原始消息是 $ j $ .
通過適當的填充（例如OAEP），使用 RSA 加密單個字節或字元甚至位確實是安全的*。當然，這也非常浪費，因為您將每 8 位明文轉換為 2048 位或更多位的密文，並在此過程中花費大量 CPU 時間，但效率低下（通常）不是安全問題。
然而，如果沒有填充，使用 RSA 加密單個字元或短消息是不安全的，因為這種“教科書 RSA”加密容易受到多種攻擊，允許在沒有私鑰的情況下解密消息。其中一些攻擊包括：
- 猜測攻擊：生成幾百（或幾萬億）個或多或少似是而非的明文列表，並用公鑰加密每個明文。檢查結果是否與您要解密的消息匹配。如果是這樣，您剛剛找到了正確的明文。
這種攻擊將徹底破壞任何使用教科書 RSA 加密單個字元或字節的方案，因為使用公鑰很容易加密每個字元或字節，從而獲得所有可能密文的完整字典。但它也適用於任何時候明文空間足夠小（或者攻擊者可以猜測明文可能屬於某個足夠小的集合），它可以在電腦（或電腦集群）上列舉。
- 這 $ e $ -th 根攻擊：如果公共模數 $ e $ 很小（例如 $ e = 3 $ ) 和明文 $ m $ （在被編碼為數字之後）也足夠小 $ m^e < n $ ，那麼教科書 RSA 加密可以簡單地通過計算 $ e $ - 密文的根 $ c = m^e \bmod n $ . 這種攻擊的變體也可以起作用，如果 $ m^e < kn $ 對於一些小整數 $ k $ （比如說，不到一萬億），只需通過蠻力測試，如果 $ e $ - 的根 $ c + jn $ 是一個整數 $ j $ 從 $ 0 $ 取決於 $ k $ . 雖然這種攻擊很容易避免（例如，通過使用適當的加密填充和/或通過使用更大的公共指數，如常見的 $ e = 2^{16} + 1 = 65537 $ )，令人驚訝的是，許多由業餘愛好者設計的幼稚 RSA 方案（或被設計為故意破壞，例如在 CTF 中）可能會落入它。
*) 在針對被動竊聽攻擊者提供機密性和語義安全的意義上，假設 RSA 密鑰已正確生成並且足夠長以承受因式分解攻擊，用於 OAEP 的隨機數生成器沒有受到損害並且沒有其他明顯的執行錯誤，並且消息的存在和長度不是機密的。即便如此，任何一次加密一個字元的“ECB”樣式方案當然具有高度可塑性，因此容易受到主動攻擊者的操縱。