是否有生成不同序列數量的通用公式x↦X一個反對ñX↦X一個反對ñxmapsto x^alpha mod N?
根據 $ \alpha,N,x $ 序列 $ x\mapsto x^\alpha \mod N $ 可以有不同的長度。如果第一個元素 $ x_0 $ 初始化為 $ x_0 = x_r^\alpha $ 對於隨機 $ x_r $ 該序列幾乎總是具有相同的恆定大小。
我們將只關注具有最大大小的最常見序列 $ N_L $ （對於給定的 $ \alpha,N $ ).
根據所選 $ x_0 $ 它可能導致不同的、不相交的序列，但最大序列大小仍然相同。
**問題：**是否有一些通用公式來計算這些序列的數量（對於給定的 $ \alpha,N $ )?
編輯：發布和接受的答案沒有回答這個問題，但非常有幫助。
仍然歡迎回答這個問題。（編輯結束）在修補時，我已經找到了一些公式 $ N, \alpha $ 的特殊結構。循環長度 $ \alpha $ 模數的一些主要因素 $ \phi(N) $ 以及影響因素 $ \phi(\phi(N)) $ 似乎對這個計數有一些影響。
它也與不同值的數量有關 $ N_{\alpha}=|{x^\alpha \bmod N}| $ 以及這些序列的最大長度 $ N_L $ .
為了 $ N_\alpha $ 它在另一個執行緒中得到了一些答案。如果 $ N $ 是唯一質因數的乘積： $$ N = \prod_{i=1}^n p_i $$ 不同值的數量 $ N_\alpha $ 將會 $$ N_{\alpha} =\prod_{i=1}^n\left(1+\frac{p_i-1}{\mathrm{gcd}(\alpha,p_i-1)}\right) $$ 為了 $ N_L $ 我只編了一些對某些人有用的方程式 $ N, \alpha $ . 一個通用公式也將受到歡迎。
兩者一起可以導致序列計數的近似值。
附帶問題：這些序列有特殊名稱嗎？是否在某處（以緊湊的形式）描述了這個和其他屬性？
目標 $ N $ 也會有 $ 2 $ , $ 3 $ 或者 $ 4 $ 奇特的唯一質因數。
這是一個非常困難且未解決的一般數學問題。也許您應該將問題集中在特定案例上，並可能在 mathoverflow 上提問，但除非您展示先前的研究並提出經過深思熟慮的問題，否則它們總是存在被忽略的風險。
具體案例 $ N $ Igor Shparlinski 已經考慮過質數。一個好的開始是追尋他的作品的引用。正如我在下面提到的論文摘要中所解釋的，這個問題與數論中的其他問題和應用密切相關。
Chua 和 Shparlinski，關於以素數為模的重複取冪的循環結構，數論雜誌，第一卷。107 (2004) 第 345-356 頁。
我可以通過以下方式訪問副本
請注意，通過假設 Shparlinski 和他的合著者刪除的廣義黎曼假設獲得了一些結果，僅此一項就應該告訴你這個問題在你似乎想要的一般性方面有多難。在那篇論文中，估計了一些週期長度和周期數的時刻。
我建議，如果你做更多的研究，看看在文獻中獲得了哪些其他相關結果，然後再在 crypto stackexchange 上再次詢問一個相關的非常籠統和大量數學問題，這可能對你更有幫助。