關鍵空間：密集和稀疏
我正在上一門密碼學課程，我一直遇到這些術語密集和稀疏的密鑰空間。他們的意思是什麼？
據我所知，密集鍵空間意味著該特定空間中的鍵組合更多，而相反則稀疏。如果是，假設我使用橢圓密鑰加密，即
y^2 = x^3 + ax^2 + bx + c，
為什麼橢圓密鑰加密比 RSA 加密更密集（稀疏）？
請告訴我是否需要更清楚。
這種“密集的鍵空間意味著該特定空間中的鍵組合更多，而相反的稀疏”幾乎就是這樣。
根據密碼算法，密鑰空間可以更少或更多稀疏。這取決於算法的安全性基於哪些原語，可能還有哪些難題。
對稱密碼算法僅使用一個密鑰並使用簡單的代數或邏輯運算。因為這些操作通常適用於所有可能的輸入值，所以它們的鍵空間可以（並且通常是）密集的。對於許多對稱算法，輸入密鑰空間的每個可能的位組合都是有效密鑰（最大密集），對於其他一些位更少。
公鑰算法使用單獨的公鑰和私鑰，具有特定的語義：如果知道公鑰，發現私鑰應該相當困難（可能需要對密鑰空間進行暴力搜尋）。這種更複雜的語義對算法的操作提出了更多的要求。算法變得更複雜、更慢並且它們使用的密鑰大小變得更大。目前已知的公鑰算法是基於一些已知的困難問題。
例如，RSA 基於整數因式分解問題：很難將由兩個素數構成的合數分解為構成該數的素數。這其實已經很接近 RSA 的密鑰空間稀疏的原因了。通用 2048 位密鑰大小的 RSA 密鑰由兩個 1024 位素數構成。素數定理描述瞭如何估計小於指定數的素數。數學問題有多少位長度為 p = 1024 位的所有素數 p？答案可用於估計 RSA 密鑰空間的稀疏程度：僅 $ \frac 1 {2ln 2^{1023}} $ 在 1024 位的位組合中都是可接受的素數，並且需要有兩個這樣的素數。這意味著只有大約每百萬分之一的數字 $ 2^{2047} $ 和 $ 2^{2048} $ 是可以接受的，可以認為是相對稀疏的。
（注意：在 RSA 中，還需要選擇公共指數。為簡單起見，我在這裡沒有考慮完整的 RSA 密鑰生成，如果您需要更多詳細資訊，請隨時參考 NIST 的 FIPS 186-4 標準）。
在考慮橢圓曲線時，要考慮的重要數字是素數 n，它是曲線參數之一。對於大多數曲線，（幾乎）任何小於 n 的數字都是可接受的私鑰。因此很容易看出密鑰空間比 RSA 密集得多。
注意：對於 EC，公鑰的某些格式需要兩倍於曲線（或私鑰）強度的位數來表示。儘管如此，它們仍然比同等強度的 RSA 密集得多。
與安全的關係
稀疏/密集密鑰空間與密碼算法的強度有一定的關係。如果只有可接受的密鑰是素數，那麼可能的攻擊者可能會跳過許多幾乎沒有處理的密鑰。因此，算法的強度最多可以被認為是有效的密鑰空間，然而，這並不能消除任何其他代數原因，為什麼會有更好（更容易）的方法來攻擊算法。
請告訴我是否需要更清楚。