RSA 協議/生成素數
因此，Alice 想要使用 RSA 協議並支付 Cindy 來生成兩個（奇數）素數 p 和 w，這樣她就可以使用 e=65537 和 n=pw 作為她的公鑰。Alice 將在收到 p 和 w 後，私下找到 d 作為她的私鑰。
Cindy 將 p 和 w 傳遞給 Alice，其中 p 是素數，但她搞砸了，將一個數字 w 傳遞給 Alice，它是合數。這個數字 w 是兩個（不同的）素數的乘積。（假設 (p,w)=1。）Alice 沒有意識到 w 是素數，並且在這個假設下找到了 d。因此公開她的公鑰（65537，pw）。
令人驚訝的是，每當消息 M 使用 RSA 使用她的公鑰發送給 Alice 並且 Alice 使用她的 d 時，她總是正確地恢復消息 M！（當然我們假設 M 和 pw 沒有公因數）。
這世界上怎麼可能？？公式是什麼？？
我們如何證明不存在大小為 512 位的 w？
編輯：另外，我們如何證明除以 w 的兩個素數不能具有相同的位數（以二進製表示）？
這怎麼可能？
發生這種情況的最簡單方法是，如果 $ w $ 是一個卡邁克爾數（並且相對於 $ p $ ).
卡邁克爾數是一個合數，使得 $ x^{w-1} \equiv 1 \bmod w $ 對所有人 $ x $ 相對於 $ w $ .
如果您獲取 Carmichael 編號，只需將其插入 RSA 機器；也就是說，計算 $ d = e^{-1} \bmod \text{lcm}(p-1, w-1) $ （或者 $ (p-1)(z-1) $ ，在這種情況下都有效），您將獲得一個有效的加密/解密對。
為了讓事情變得更有趣，還有一些數字 $ x^{w-1} \equiv 1 \pmod m $ 通常（但不總是）是正確的（我個人稱它們為 quasicarmichael 數；這可能不是標準術語）；然後，取決於什麼 $ p $ 是（實際上，它是因式分解 $ p-1 $ 這很關鍵），並且可能您是否使用 $ \text{lcm}(p-1, w-1) $ 或者 $ (p-1)(z-1) $ ，也可以工作。
（當然我們假設 M 和 pw 沒有公因數）。
實際上，我們不需要做這樣的假設。
我們如何證明不存在大小為 512 位的 w？
實際上，我相信有這麼大的卡邁克爾數。