一個2米+1一個2米+1alpha^{2^{m} + 1}是一個生成器GF(2米)GF(2米)operatorname{GF}(2^m)?
這是來自一篇關於 S-Boxes 的論文（Streebog 和 Kuznyechik 的 S-Box 中的分區）：
讓 $ \operatorname{GF}(2^{2m}) = \mathbb{F}_2[X]/p(X) $ 是由本原多項式定義的偶次有限域 $ p $ . 乘法子群 $ \operatorname{GF}(2^{2m})^* $ 是循環的，由 $ \alpha $ 這是這樣的 $ p(\alpha) = 0 $ .
在這種情況下， $ \alpha^{2^{m} + 1} $ 是子域的乘法子群的生成器 $ \operatorname{GF}(2^m) $
我不明白為什麼它會這樣 $ \alpha^{2^{m} + 1} $ 是子域的生成器？
由於您還沒有聽說過分裂場，這裡有一個基於更基本的群論的論點。
讓 $ G $ 表示循環群。然後，很容易證明（或者您可能已經知道）如果 $ \alpha \in G $ 是秩序的一個要素 $ n $ （我們寫 $ \mathsf{ord}(\alpha)=n $ 表示這一點），然後 $$ \mathsf{ord}(\alpha^k)= \frac{\mathsf{ord}(\alpha)}{\gcd(\mathsf{ord}(\alpha),k)} = \frac{n}{\gcd(n,k)}. $$ 選擇 $ G = \text{GF}(2^{2m})^* $ 誰的發電機 $ \alpha $ 是有序的 $ n = 2^{2m}-1 $ , 觀察到 $ 2^{2m}-1 = (2^m-1)(2^m+1) $ , 並推斷出 $$ \mathsf{ord}(\alpha^{2^{m}+1}) = \frac{2^{2m}-1}{\gcd(2^{2m}-1,2^{m}+1)} = \frac{(2^m-1)(2^m+1)}{2^{m}+1} = 2^m-1. $$ 因此， $ \alpha^{2^{m}+1} $ 生成唯一的循環子群（順序 $ 2^m-1 $ ） 的 $ \text{GF}(2^{2m})^* $ 它本身是有序的 $ 2^{2m}-1 $ . 現在， $ \text{GF}(2^{m}) $ 是一個子域 $ \text{GF}(2^{2m}) $ 所以這個子群必須是 $ \text{GF}(2^{m})^* $ .