什麼標準使 Keccak 圓函式的 theta 步是可逆的？
從我一直在閱讀的內容來看，Keccak 的圓形功能是可逆的。這對於 $ \rho $ , $ \pi $ 和 $ \iota $ 變換。為了 $ \chi $ 是可逆的， $ x $ 的範圍必須是奇數——但這沒關係，因為 Keccak 的 $ x $ 有一個範圍
5。然而，什麼標準使theta步可逆？檢查一些小 $ x $ , $ y $ 和 $ z $ 範圍，它表明：
- 其中
[x][y][z]的範圍是[3][3][2], $ \theta $ 是不可逆的，並且- 其中
[x][y][z]的範圍是[3][3][3], $ \theta $ 也不可逆。那麼，是什麼讓 $ \theta $ 對於（例如）
[5][5][64]可逆的？
我經歷了它，雖然這不是一個完整的答案，但這應該會有所啟發（並註意：當我在談論 $ x $ , $ y $ 和 $ z $ ，我指的是這些指數可以採用的範圍；沒有任何特定的索引）
第一條規則：如果 $ x $ 是偶數，那麼 $ \theta $ 是可逆的。證明實際上相當優雅。然而它也與 Keccak 無關（因為即使你要調整 Keccak， $ \chi $ 步驟要求 $ x $ 奇怪）。
現在，從現在開始，我們假設 $ x $ 很奇怪。
下面是它的工作原理; 有一個功能 $ L(y) $ 映射範圍 $ y $ 成一組整數； $ \theta $ 與參數 $ (x, y, z) $ 是可逆的 $ z $ 不是集合中任何整數的倍數 $ L(y) $
$ L(y) $ 也有這樣的屬性 $ L(a) \cup L(b) \subset L(ab) $
這是列表 $ L(y) $ 為了 $ y<38 $ :
$ L(2^n) = \emptyset $
也就是說，如果 $ y $ 是 2 的冪， $ \theta $ 總是可逆的
$ L(3n) = { 1 } $
這意味著，因為所有的值 $ z $ 是 1 的倍數，那麼 $ \theta $ 永遠不可逆如果 $ y $ 是 3 的倍數。
$ L(5) = { 15 } $
在 Keccak 案例中，實際值為 $ z = 64 $ 不是 15 的倍數，因此 $ \theta $ 是可逆的。
$ L(7) = { 7 } $
$ L(10) = { 15 } $
$ L(11) = { 341 } $
$ L(13) = { 819 } $
$ L(14) = { 7 } $
$ L(17) = { 85 } $
$ L(19) = { 9709 } $
$ L(20) = { 15 } $
$ L(22) = { 341 } $
$ L(23) = { 2047 } $
$ L(25) = { 15 } $
$ L(26) = { 819 } $
$ L(28) = { 7 } $
$ L(29) = { 475107 } $
$ L(31) = { 31 } $
$ L(34) = { 85 } $
$ L(35) = { 7, 15 } $
$ L(37) = { 3233097 } $
現在，上面列出了一些明顯的規律 $ L $ 函式值；例如，如果 $ y $ 是不是 2 的素數，那麼每個 $ L(y) $ 列出的由一個元素組成，該元素是 $ 2^{y-1}-1 $ ; 在列出的每種情況下，我們都有 $ L(ab) = L(a) \cup L(b) $ ; 但是我無法證明這些觀察中的任何一個都普遍成立。