實數和復數序列的線性複雜度

在密碼學中，流密碼的輸出序列是二進制值的（或更一般地是有限域值的）。然而，在實數和復數變數上的數學序列也可以通過使用回饋移位寄存器的流密碼生成。我們還可以轉換二進制輸出序列 $ w(k) $ 流密碼到實間隔 $ [-1,1] $ 通過定義序列 $ z(k)=(-1)^{w(k)} $ . 在我的搜尋中，我沒有找到關於實數和復數序列的線性複雜性理論的文獻。為什麼這樣的理論沒有用或沒有意義？

一般來說，有限域理論更清晰，它基於精確的算術。由於我們需要密碼學中的精確算術（否則像均勻分佈這樣的事情要麼不可能或很難證明，而且我們需要有限過程來實際實現密碼學），因此有限域上的理論就足夠了。

幾點注意事項：

1. 可以定義任意無限域上的線性複雜性理論，例如 $ \mathbb{C} $ 或者 $ \mathbb{R}. $ 例如，在本科數學和工程課程中教授/使用實數上的線性遞歸。從加密的角度來看，這種線性複雜性將非常不穩定$$ if you have a small error in the value of the terms it will fluctuate wildly $$
2. 有一個關於復雜欄位程式碼的相關問答，其中關於此類欄位的 berlekamp massey 問題在此處的連結中得到解決。
3. 有一個關於序列複雜性的理論 $ p- $ adic 欄位，代錶帶有進位的回饋移位寄存器，由 Klapper 和 Goresky 開創。請參閱此處的維基百科。
4. 最後，如果您執行地圖 $ s_t=(-1)^{u_t} $ 對於二進制序列，您可以直接獲得乘法遞歸 $ s_t $ 對應於線性遞歸 $ u_t $ 如 $$ u_{t+3}=u_{t+1}\oplus u_{t} \Longleftrightarrow s_{t+3}=s_{t+1}s_{t} $$

這種變換線上性密碼分析中很常見，該過程在 Hadamard 變換下將位的加法組合轉換為字元的乘法組合。然後，對變換的計算可以提供有關輸入位的資訊，主要使用特徵 2 中的傅里葉分析。變換的預期值有時稱為凸起。

使用這種變換的一個例子是其期望值形式的堆積引理。有關更現代的用法，請參見例如由 Coppersmith 等人提供的具有線性掩蔽的流密碼的密碼分析定理 6 的證明

引用自：https://crypto.stackexchange.com/questions/101444