一些操作後的 lfsr 序列週期
這是我正在處理的問題。我有某種解決方案，但我需要更具體的結果。如果有人可以提供幫助，我將不勝感激：
給定 3 個長度為 L1、L2、L3 的最大長度（最大周期）LFSR，它們同時被計時，並且 L1、L2、L3 是成對相對素數。輸出序列是第一個或第三個的輸出，具體取決於第二個的輸出分別為 0 或 1。
**1）**如果我們只選擇輸出序列的每第四位，線性複雜度（LC）和周期如何變化？就之前的信用證和期間而言，它們會是什麼？
**2)**一個週期內序列的權重是多少？
現在這是我的簡短解決方案：首先這是 Geffe Generator，組合函式是 f(x1,x2,x3)=x2.x1+x2.x3 +x3$。
-線性複雜度= LC= f(L1,L2,L3)=L2.L1+L2.L3 +L3。（因為長度都是互質的）
- Period = P = (2^L1 -1).(2^L2 -1).(2^L3 -1) （因為它們是最大周期和相對素數的長度，即 Li 的）
現在假設系統的輸出序列是**{a_n} = {a0,a1,a2,a3,…}**
1) 拾取輸出序列的每第四位是從 a3 開始的序列的 4 抽取。因此，在考慮抽取之前需要截斷 3 個項。抽取不會增加 LC，但截斷會使 LC 最多 LC+3。我通過考慮生成函式的分母來解決這個問題，生成函式是連接多項式，在完成所有簡化後，其度數給出了 LC。
即如果新的 LC 為 L，則：
L <= LC+3
但是我不知道如何根據未修改的系統 P 的周期來找到週期。我只能說，如果新的周期是 T，那麼：
T<= (2^{L+3}-1)
任何人都可以根據系統的未修改週期 P 為新周期給出更具體的界限嗎？
2）對於函式在一段時間內的權重：我檢查了函式f的真值表。而且它是平衡的，因此權重必須是：(2^{3-1})= 4。但是我怎樣才能找到一個週期內序列的權重？
我的想法是：在一個週期內，函式採用所有可能的輸入值（x1，x2，x3）。（多達長度的整數倍。）因此它必須是函式的權重乘以某個整數？我不確定那個？有人有想法嗎？
如果您選擇序列中的每 4 個術語，則從原始週期開始 $ P $ 是
$$ (2^{L_1}-1)(2^{L_2}-1)(2^{L_3}-1)=2^{L_1+L_2+L_3}-2^{L_1+L_2}-2^{L_1+L_3}-2^{L_2+L_3}+ \sum_{i=1}^3 2^{L_i}-1, $$ 並且與 4 相對質數，除了對於 $ L_i, $ 你會得到適當的抽取和序列的重新排序。沒有截斷。 因此 $ LC_{new} \leq LC_{old}. $ 但請注意，每個分量最大長度序列都可以寫為 $ \mathrm{tr}(c_i \alpha_i^t), $ 在哪裡 $ \alpha_i $ 是一個原始元素 $ GF(2^{L_i}) $ 和常數 $ c_i $ 來自同一個欄位用於調整相位。
然而，跡圖在重複平方下是線性的
$$ \mathrm{tr}(x)=\mathrm{tr}(x^2)=\mathrm{tr}(x^4), $$（在分圓陪集上是常數）和抽取 4 相當於取四次方，所以我認為線性複雜度也保持不變。 此外，抽取序列的權重顯然沒有改變。
原始序列的權重將是 $ (P+1)/2, $ 因為函式是平衡的並且全零點 $ f(0,0,0)=0 $ 從真值表中失去。