反函式DDT的對稱性
給定一個雙射函式 $ F: \mathbb{F}_2^n \rightarrow \mathbb{F}_2^n $ .
差異分佈表 (DDT) 在行的條目 $ \alpha $ 和列 $ \beta $ 定義為
$$ DDT_{F}(\alpha,\beta) = \delta_F(\alpha, \beta) = |{ x \in \mathbb{F}_2^n | F(x) + F(x+\alpha) = \beta }| $$
我需要證明
$$ DDT_{F}(\alpha,\beta) = DDT_{F^{-1}}(\beta, \alpha) $$
和
$$ DDT_{F^{-1}}(\beta, \alpha) = \delta_{F^{-1}}(\beta, \alpha) = |{ x \in \mathbb{F}_2^n | F^{-1}(x) + F^{-1}(x+\beta) = \alpha }| $$
不幸的是，我不知道如何開始顯示相等性，但我認為替換是要走的路。你能給我一個提示嗎？
我嘗試了相同的方法來證明這個對稱屬性也適用於線性近似表（LAT），即
$$ LAT_{F}(\alpha,\beta) = LAT_{F^{-1}}(\beta, \alpha) $$
和
$$ LAT_F(\alpha,\beta) = \widehat{F}(\alpha,\beta) = \sum_{x \in \mathbb{F}_2^n} (-1)^{<\alpha,x> + <\beta,F(x)>} $$
$$ LAT_{F^{-1}}(\beta,\alpha) = \widehat{F^{-1}}(\beta,\alpha) = \sum_{x \in \mathbb{F}_2^n} (-1)^{<\beta,x> + <\alpha,F^{-1}(x)>} $$
對於 LAT，訣竅是換人。自從 $ F $ 是一個排列，總和遍歷所有元素 $ \mathbb{F}_2^n $ , 替換只會改變元素的順序 $ \mathbb{F}_2^n $ 被處理。
$$ x = F(y) $$
這將導致：
$$ \widehat{F^{-1}}(\beta,\alpha) = \sum_{x \in \mathbb{F}2^n} (-1)^{<\beta,x> + <\alpha,F^{-1}(x)>} = \sum{y \in \mathbb{F}_2^n} (-1)^{<\beta,F(y)> + <\alpha,y>} = \widehat{F}(\alpha,\beta) $$
不幸的是，替換 $ x = F(y) $ 沒有解決我的滴滴涕問題。
DDT的證明如下：
給定： $$ y=F(x) ;\ x=F^{-1}(y) > > (1) $$ 正向滴滴涕是 $$ F(x) + F(x+\alpha) = \beta >> (2) $$ 將 (1) 代入 (2) $$ F(x) + F(F^{-1}(y)+\alpha) = \beta $$
$$ y+ \beta +F(F^{-1}(y)+\alpha) =0 $$
重新排列和應用反函式 $$ F^{-1}(y+ \beta) +F^{-1}((F(F^{-1}(y)+\alpha))=0 $$
$$ F^{-1}(y+ \beta) +F^{-1}(y) = \alpha $$
所以 ，
$$ DDT_{F^{-1}}(\beta, \alpha) = \delta_{F^{-1}}(\beta, \alpha) = |{ x \in \mathbb{F}_2^n | F^{-1}(x) + F^{-1}(x+\beta) = \alpha }| $$
相同的概念適用於 LAT 證明。