給定密鑰長度分佈的 Vigenere 密碼機率
在這裡給出完全相同的問題和答案：https ://crypto.stackexchange.com/a/37212/40935 。
如何推導出/計算（使用方程式、方程式組合或“知識”）以下粗體標記的部分：
如何知道將0.5和**1/(26^2)**放在以下位置：
- 公關$$ C=ff | M=dd $$x 镨$$ M=dd $$= [1/26 x 0.5 + 1/(26^2) x 0.5 ] x 0.2
- 公關$$ C=ff | M=de $$x 镨$$ M=de $$= [0 x 0.5 + 1/(26^2) x 0.5 ] x 0.8
我預計條件部分的計算是：
- 公關$$ C=ff | M=dd $$= [1/26 x 0.5 + 1/(26) x 0.5 ]
- 公關$$ C=ff | M=de $$= [0 x 0.5 + 1/(26) x 0.5 ]
所以我想要一個可能基於總機率定律和/或貝氏定理（或我不知道的東西）的“方程”，這樣我就可以看到導致簡單替換的符號操作/計算如上所述的值。
好的，讓我們一塊一塊地拆開，用 $ l $ 表示密鑰長度：
你有：
- $ P(l=1) = P(l=2) = 0.5 $
- $ P(m=dd) = 0.8, P(m=de) = 0.2 $
- 你要知道 $ P(c=ff) $
- 隱含地，我們假設密鑰是統一隨機的（實際上對於具有實際關鍵字的 Vigenere 而言並非如此，但問題中沒有聲明）。因此對於任何組合 $ c,m $ ，我們得到一個機率 $ 1/26 $ 如果 $ l=1 $ 和 $ 1/26^2 $ 如果 $ l=2 $
- 隱含地，密鑰獨立於消息 - 非常標準的假設。而且當然 $ l $ 也是獨立的。
那麼我們來看看案例 $ l= 1 $ . 正式地，我們將其表示為 $ P(.|l=1) $ . 這是一個條件機率，因為我們把條件 $ l=1 $ .
所以： $ P(c=ff|l=1) = P(c=ff| l = 1 \cap m=de) + P(c=ff | l = 1 \cap m=dd) $
$ = 0 * 1/26 + 1 * 1/26 $ （這 $ 0 $ 表示“這是不可能的”， $ 1 $ 表示“這完全可以 $ 1 $ 組合”）
分析： $ P(c=ff|l=2) = P(c=ff|l=2 \cap m=de) + P(c=ff|l=2 \cap m=dd) $
$ = 1 * 1/26^2 + 1 * 1/26^2 $ （兩者都可能只有一種組合，所以兩者 $ 1 $ s)
現在，我們想要得到 $ P(c=ff) = P(c=ff|l = 1) \cdot P(l=1) + P(c=ff|l=2) \cdot P(l=2) $
$ = (0+1/26) \cdot 0.5 + (1/26^2 + 1/26^2) \cdot 0.5 = 0.5(1/26 + 2/26^2) $
我們只是使用，事件 $ l=1 $ 和 $ l=2 $ 是互斥的。它們恰好是我們必須考慮的唯一可能性。
最後，我們得出與您其他問題相同的結論：您錯過了條件 $ l $ 在您的第一種方法中。然後在您的解決方案中合併它 - 但錯過了在公式中正確表達它。