Vigenere密碼的機率
我試圖在我正在做的一門課程中弄清楚這個測驗問題，但一直弄錯。
考慮小寫英文字母表上的 Vigenere 密碼，其中密鑰的長度可以為 1 或 2，每個都有 50% 的機率。假設明文上的分佈是 Pr
$$ M=‘aa’ $$= 0.4 和 Pr$$ M=‘ab’ $$= 0.6。什麼是公關$$ C=‘bb’ $$? 用前導 0 表示您的答案到小數點後 4 位，即，如果您的答案是 1/2，那麼您將輸入 0.5000（沒有尾隨句點）。
我的推理方式如下：機率 P1，其中 m=aa 且密鑰大小為 1 = 1/26 * 0.4 機率 P2 其中 m=aa 且密鑰大小為 2 = 1/261/260.4 機率 P3其中 m=ab 且密鑰的大小為 1 = 0 機率 P4 其中 m=ab 且密鑰的大小為 2 = 1/261/260.6
答案（我想）是 P1 + P2 + P3 + P4 = 0.0169
這顯然是錯誤的。有人可以指導我嗎？
我假設 Vigenere 密碼被定義為按 $ c_i\gets m_i\boxplus k_{(i\bmod l)} $ 在哪裡 $ c_i $ 是一個密文字母， $ m_i $ 是明文字母， $ k_i $ 是一個關鍵字母， $ l $ 是密鑰的長度， $ \boxplus $ 是維度為 26×26 的Vigenere 表。我會注意 $ \hat k_i=k_{(i\bmod l)} $ .
假設
$$ \begin{array}{rlcrl} \Pr[l=1]&=\frac1 2&\quad&\Pr[l=2]&=\frac1 2\ \Pr[m_0=\mathtt a;\wedge;m_1=\mathtt a]&=\frac2 5&\quad&\Pr[m_0=\mathtt a;\wedge;m_1=\mathtt b]&=\frac3 5 \end{array} $$ 有人問 $ p=\Pr[c_0=\mathtt b;\wedge;c_1=\mathtt b] $ . 那是 $$ p=\frac2 5\Pr[\hat k_0=\mathtt b;\wedge;\hat k_1=\mathtt b]+\frac3 5\Pr[\hat k_0=\mathtt b;\wedge;\hat k_1=\mathtt a] $$ 不幸的是，問題陳述並不清楚密鑰的分配。我們可以合理地假設每個可能的 $ k_0 $ 有機率 $ \frac1 {26} $ ， 但是關於 $ k_1 $ 什麼時候 $ l=2 $ ? 假設其中之一是合理的
- 每一個可能 $ k_1 $ 有機率 $ \frac1{26} $ . 這會產生 $$ p=\frac2 5\left(\frac1 2\frac1{26}+\frac1 2\frac1{26}\frac1{26}\right)+\frac3 5\left(0+\frac1 2\frac1{26}\frac1{26}\right)=\frac{57}{6760}\approx0.0084 $$ （四捨五入到最接近的，即向下）
- 每一個可能 $ k_1\ne k_0 $ 有機率 $ \frac1{25} $ . 這會產生 $$ p=\frac2 5\left(\frac1 2\frac1{26}+0\right)+\frac3 5\left(0+\frac1 2\frac1{26}\frac1{25}\right)=\frac{53}{6500}\approx0.0082 $$ （四捨五入，即向上）
注意：投注 1 以最大化獲得正確答案的機率，即使 2 在密碼學上不太安全。
該問題的嘗試解決方案讀數為 1，但其總和的每個機率都缺少乘以 $ l $ 具有考慮的價值。