線性變換證明
好的，所以我有這個問題，老實說，我不知道如何證明它。我知道該函式是線性的，並且我知道它適用於每種可能的組合，但我只是不知道如何以任意方式證明它。這是問題：
假設 DES 不使用這些 S-box，而是將其前 4 位替換為 6 位字元串，即 T(b1 b2 b3 b4 b5 b6) = b1 b2 b3 b4。我們稱這個變換為 T。證明 T 是一個線性變換（注：你需要證明 T(x xor y) = T(x) xor T(y)，對於所有 6 位字元串 x 和 y，不僅適用於特定的 x 和 y 對；所以寫下適用於任意 x 和 y 的證明）。
我不知道從哪裡開始，因為這門課不是寫證明。
我們定義 $ T $ 作為：
$ T(B) = (b_0,b_1,b_2,b_3) $
我們用 $ D $ 來表示差異 $ X $ 和 $ Y $ :
$ D = X \oplus Y $
計算 $ T(D) $ :
$ T(D) = (d_0,d_1,d_2,d_3) $
$ = (x_0 \oplus y_0, x_1 \oplus y_1, x_2 \oplus y_2, x_3 \oplus y_3) $
$ =(x_0,x_1,x_2,x_3) \oplus (y_0,y_1,y_2,y_3) $
這是根據定義 $ T $ :
$ T(X) \oplus T(Y) $
好吧，我們從一個小的 XOR 定義開始，用於大於零位的位串。 $ x $ 和 $ y $ 是長度為的位串 $ n $ 和 $ x_{k} $ 表示 $ k^{th} $ 位（從 $ 0 $ 到 $ lenght - 1 $ ). $ || $ 表示連接和 $ \oplus $ 表示異或。所以我們得到：
$$ x \oplus y = ((x_{0} \oplus y_{0}) || (x_{1} \oplus y_{1}) || … || (x_{n-1} \oplus y_{n-1})) $$ 我們的功能 $ T $ 只返回 6 位字元串的前 4 位（或任意大的位字元串，長或等於 4 位，這並不重要），所以我們可以將其寫為： $$ T(b) = (b_{0} || b_{1} || b_{2} || b_{3}) $$ 現在我們想證明 $ T(x \oplus y) = T(x) \oplus T(y) $
我們怎麼能這樣做？也許我們可以插入我們函式的不同定義，看看它從哪裡開始……？
（這可能不是回答這個問題的最佳方式，但（我認為……）它有效。）