顯示成對異或隨機變數是獨立的
如果 $ X_i $ 是 $ 3 $ 獨立隨機變數定義在 $ {0,1} $ 有偏見 $ \epsilon_i $ 是為了 $ 1\le i \le 3 ; $ 和 $ \epsilon_1 = \epsilon_3 = 0. $ 然後 $ X_1 \oplus X_2 $ 和 $ X_2 \oplus X_3 $ 是獨立的。
我所做的是，因為 $ \epsilon_1 = \epsilon_3 =, $ 因此 $ \Pr[X_1 = 0] = \frac{1}{2} = \Pr[X_3 =0].\\ $ 也因為 $ X_i $ 是獨立的，因此 $ X_1\oplus X_2, ;X_2 \oplus X_3 $ 和 $ X_3 \oplus X_1 $ 是統一的 $ {0,1}. $
現在， $ \Pr[X_1\oplus X_2 = b \mid X_2 \oplus X_3 = b] = \dfrac{\Pr[X_1\oplus X_2 = b, X_2 \oplus X_3 = b]}{\Pr[X_2 \oplus X_3 = b]}, b\in {0,1}. $
$ X_1\oplus X_2 = b, X_2 \oplus X_3 = b \implies X_1 \oplus X_3 = 0 $ 和 $ \Pr[X_1 \oplus X_3 = 0] = \frac{1}{2}, $
我們知道 $ \Pr[X_2 \oplus X_3 = b] =\frac{1}{2}. $ 因此 $ \Pr[X_1\oplus X_2 = b \mid X_2 \oplus X_3 = b] = 1. $
但 $ \Pr[X_1 \oplus X_2 = b] = \frac{1}{2}. $ 自從 $ \Pr[X_1 \oplus X_2 = b] \neq \Pr[X_1\oplus X_2 = b \mid X_2 \oplus X_3 = b] $ 所以他們不是獨立的。
我錯過了什麼？這是道格拉斯·R·斯廷森 (Douglas R. Stinson) 的《密碼學-理論與實踐》一書中的一個問題，帶有問題編號 $ 4.12 $ ， 頁 $ 134. $ 誰能幫我解決這個問題。謝謝你。
如果兩個二元 RV 是一致的，則當且僅當它們相等的機率與它們不相等的機率相同時它們才是獨立的（因此知道一個無助於猜測另一個）。 $$ P[X_1 \oplus X_2=X_2\oplus X_3]=P[X_1=X_3] =P[X_1\oplus X_3=0] $$ 這顯然是 $ 1/2 $ 自從 $ X_1,X_3 $ 是公正和獨立的。